Logaritmik değişken sayısında tamsayılı doğrusal programlama

Değişkenlerin sayısı sabitse tamsayı doğrusal programlamanın polinominal zamanda çözülebildiğini okudum , yani . Değişken sayısı logaritmik olarak büyüyorsa, yani belirli bir boyutu girişi için , sorun polinom zamanında hala çözülebilir mi, yoksa açık bir problem mi? $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— user3613886
kaynak

Girdinin boyutunu artırmak için önemsiz gerçek kısıtlamalar ekleyemiyor musunuz?

— joro

Girişin boyutunu neden artırmak istersiniz?

— user3613886

Girdiyi çok büyük yapmak için değişken sayısı logaritmiktir ve sorunuza uymalıdır.

— joro

ancak soruda, değişkenlerin giriş boyutuna kıyasla logaritmik olduğunu varsayıyoruz

— user3613886

Tüm örnekleri senin olarak yapmayı düşündüm, ama bu katlanarak katlanarak artabilir.

— joro

Bu soruya sadece kısmi bir cevap verebilirim.

(Daha sonra Kannan ve Frank ve Tardos iyileştirilebilir) Lenstra göre bir sonucu olan bu İLP bildiren değişkenlerinin zaman içinde çözülebilir (bazen İLP boyutunda bir polinom). Bu nedenle, değişken sayısı olduğunda ILP P'dir . Bir algoritmasının bilinip bilinmediğinden veya böyle bir algoritmanın ETH ile çeliştiğinden emin değilim . $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

Bu bilgiyi Daniel Lokshtanov'un tezinde buldum. İşte ilgili referanslar.

HW Lenstra. Sabit sayıda değişkenle tamsayılı programlama. Yöneylem Matematiği Araştırması, 8: 538–548, 1983.
R. Kannan. Minkowski'nin dışbükey cisim teoremi ve tamsayılı programlama. Yöneylem Araştırması Matematiği, 12: 415–440, 1987.
Frank ve Eva Tardos Karşılaştırması. Kombinatoryal optimizasyonda eşzamanlı diofantin yaklaşımı uygulaması. Combinatorica, 7: 49–65, 1987.

— Michael Lampis
kaynak

2 ^ O (k) ile bir algoritma bile üstel olacağını, çünkü sabit bir p için O (k ^ p) algoritması gerekir düşünüyorum?

— user3613886

Üzgünüm, sorudan farklı bir gösterim kullandım. By

ı değişkenlerin sayısını ve ortalama

k

$k$

n

$n$ giriş boyutu, bir çok

algoritması polinom-zaman eğer

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— Michael Lampis

Ama sadece ikili değişkenlere sahip olduğunuzu varsayalım, kaba kuvvet

mıydı?

2^{k}

$2^k$

— user3613886

@ user3613886, elbette, elbette, ama bu farklı bir sorun / soru. Değişkenlerin ikili olduğu konusunda söz vermemiştik.

— DW

Girdinin boyutunu artırmak için önemsiz gerçek kısıtlamalar ekleyemiyor musunuz?

— joro