Fibonacci kelimeleri

Eski Çek algoritması ders kitabımda aşağıdaki sorunla karşılaştım, ne yazık ki hiçbir ipucu ya da çözüm olmadan geldi.

"Fibonacci kelimelerini , , olarak tanımlıyoruz , burada ve genel harflerdir. string (potansiyel olarak büyük bir alfabe üzerinde) doğrusal zamanda en uzun Fibonacci'nin alt kelimesini bulabilir misin? "$F_{0}=a$$F_{1}=b$$F_{n+2}=F_{n}F_{n+1}$$a$$b$

İkinci dereceden bir zamanda bir çözüm biliyorum, ama onu lineer hale getiremiyorum. Birisi beni doğru yöne yönlendirebilir mi?

Gitmenin bariz yolu dinamik programlamadır: , bir Fibonacci sırası i kelimesinin j konumunda başladığı iki harfi saklasın ve F ( i - 2 , j ) ve F ( i - l , j + fib ( i ) ) . Bu en fazla O ( n log n ) zaman alır , çünkü i'nin logaritmik olarak birçok olası değeri vardır.$F(i,j)$$i$$j$$F(i-2,j)$$F(i-1,j+\operatorname{fib}(i))$$O(n \log n)$$i$.

Ama sadece F ( i - 2 , j ) ' nin boş olmadığı pozisyonları olabileceğinden şüpheleniyorum (yani aynı uzunlukta iki Fibonacci kelimesi mevcut olduğunda, sadece uzunluklarının çoğundan ziyade uzunluklarının sabit bir kısmı). Ait boş olmayan pozisyonları F ( i - 2 , j ) Eğer (sabit zaman) yapmanız gereken hangi sadece onlar için hesaplama vardır F ( i , j $O(n/\operatorname{fib}(i))$$F(i-2,j)$$F(i-2,j)$$F(i,j)$. Benim şüphe doğruysa Öyleyse bunu hızlandırmak olabilir her bir değeri için boş olmayan pozisyonların bir listesini takip tutarak i ve için listeyi kullanarak i - 2 için listenin hesaplama hızlandırmak için i .$O(n)$$i$$i-2$$i$

Eğer saklıyorsanız dizisi hala boş alan olacağını Ç ( n log n ) bile speedup sonra ancak bu yerine hashtable kullanılarak geliştirilebilir. Veya alternatif olarak F'yi O ( n ) log n -bit sözcükleriyle bit paketlenmiş bir dizide saklayabilirsiniz (yalnızca boş olup olmadığını bilmeniz gereken gözlemi kullanarak; her alt dize için iki karakteri giriş dizesindeki konumlarının ilk ikisi).$F$$O(n \log n)$$F$$O(n)$ $\log n$