Alfabenin boyutunun (

Let bir alfabe, yani boş olmayan bir sonlu ayarlanmalıdır. Dize, öğesinden herhangi bir sonlu öğe dizisidir (karakter) . Örnek olarak, ikili alfabe ve$\Sigma$$\Sigma$$\{0, 1\}$$0110$ bu alfabe için bir dizedir.

Genellikle, $\Sigma$ 1'den fazla öğe içeriyorsa, $\Sigma$önemli değil: en iyi ihtimalle bir yerlerde farklı bir sabitle karşılaşırız. Başka bir deyişle, ikili alfabeyi, sayıları, Latin alfabesini veya Unicode'u kullanmak önemli değildir.

Alfabenin büyüklüğünün önemli olduğu durumlara örnekler var mı?

Bununla ilgilenmemin nedeni, böyle bir örnek üzerinde yanılmak oldu:

Herhangi bir alfabe için $\Sigma$ rastgele kehaneti tanımlıyoruz $O_{\Sigma}$ rastgele öğeleri döndüren bir kehanet olmak $\Sigma$Böylece, her öğenin eşit bir şekilde iade edilme şansı vardır (bu nedenle her öğenin şansı $\frac{1}{|\Sigma|}$).

Bazı alfabeler için $\Sigma_1$ ve $\Sigma_2$ - muhtemelen farklı boyutlarda - erişime sahip oracle makinelerinin sınıfını düşünün $O_{\Sigma_1}$. Bu sınıftaki aynı şekilde davranan kehanet makineleriyle ilgileniyoruz$O_{\Sigma_2}$. Başka bir deyişle, bir kehaneti dönüştürmek istiyoruz$O_{\Sigma_1}$ kehanette $O_{\Sigma_2}$Turing makinesi kullanarak. Böyle bir Turing makinesine dönüşüm programı diyeceğiz.

İzin Vermek $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$ ve $\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$. dönüştürme$O_{\Sigma_1}$ kehanette $O_{\Sigma_2}$ kolaydır: sorgularız $O_{\Sigma_1}$ iki kez sonuç aşağıdaki gibi dönüştürülür: $00 \rightarrow 0$, $01 \rightarrow 1$, $10 \rightarrow 2$, $11 \rightarrow 3$. Açıkçası, bu program$O(1)$ saati.

Şimdi izin ver $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$ ve $\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$. Bu iki dil için, tüm dönüşüm programları$O(\infty)$ zaman, yani $O_{\Sigma_1}$ için $O_{\Sigma_2}$ içeri giren $O(1)$ saati.

Bu çelişki ile kanıtlanabilir: varsayalım ki bir dönüşüm programı var $C$ itibaren $O_{\Sigma_1}$ için $O_{\Sigma_2}$ içeri koşmak $O(1)$saati. Bu demektir ki bir$d \in \mathbb{N}$ öyle ki $C$ en fazla yapar $d$ için sorgular $\Sigma_1$.

$C$ daha az yapabilir $d$belirli yürütme yollarındaki sorgular. Kolayca bir dönüşüm programı oluşturabiliriz$C'$ yürüten $C$kaç kez bir sorgulama yapıldığını takip ederek. İzin Vermek$k$ oracle sorgularının sayısı olabilir. $C'$ sonra yapar $d-k$ ek oracle sorguları, sonuçları atma, ne döndürme $C$ dönecekti.

Bu şekilde, $|\Sigma_1|^d = 2^d$ için yürütme yolları $C'$. Kesinlikle$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$ Bu yürütme yollarının $C'$ dönen $0$. Ancak,$\frac{2^d}{3}$bir tamsayı değil, bu yüzden bir çelişkimiz var. Dolayısıyla, böyle bir program mevcut değildir.

Daha genel olarak, alfabelerimiz varsa $\Sigma_1$ ve $\Sigma_2$ ile $|\Sigma_1|=n$ ve $|\Sigma_2|=k$, bir dönüşüm programı var. $O_{\Sigma_1}$ için $O_{\Sigma_2}$ ancak ve sadece asal çarpanlarına ayırmada ortaya çıkan tüm asal sayılar $n$ ayrıca asal çarpanlarına ayırma $k$ (bu yüzden çarpanlara ayırmadaki ilklerin üsleri önemli değildir).

Bunun bir sonucu, ikili bir uzunluk dizesi üreten rastgele bir sayı üretecimiz varsa $l$, bu rastgele sayı üretecini $\{0, 1, 2\}$ eşit olasılıkla.

Süpermarkette dururken, akşam yemeğinde ne yiyeceğimize bakarken yukarıdaki sorunu düşündüm. A, B ve C seçeneklerine karar vermek için bozuk para fırlatır mıyım diye merak ettim.

Biçimsel dil teorisinde, 2 karakterli ve 3 karakterli alfabelerin niteliksel olarak farklı davranışlar verdiği bazı örnekler vardır. Kozen aşağıdaki güzel örneği veriyor (başka sözcüklerle yazılmış ):

Alfabe olsun $\Sigma$= {1, .., k} ile standart sayısal sıralamayı girin ve x harflerinin sıralı olarak göründüğü x kelimesinin permütasyonu olarak sort (x) öğesini tanımlayın. Sıralamayı genişlet (A) = {sırala (x) | x$\in$ A} ve aşağıdaki iddiayı göz önünde bulundurun:

A bağlam içermiyorsa, sıralama (A) bağlam içermez.

Bu iddia k = 2 için doğrudur, ancak k için yanlıştır $\ge$ 3.

Dinur'un PCP teoremine dair kanıtı , büyük ölçüde alfabe boyutunun manipülasyonuna dayanmaktadır.

Spesifik olarak, ispatın genel yapısı, bir grafik güç tekniğinin grafik boyutu sayısındaki logaritma yinelemeli bir uygulamasıdır. Her yinelemede, grafik bir güçle (alfabe boyutunu havaya uçurur) büyütülmüş düzenli bir genişleme grafiğine önceden işlenir ve daha sonra bir PCP kompozisyonu uygulanır (her bir kısıtlamayı büyük bir alfabe üzerinde bir sınırlama sistemine dönüştürür küçük bir alfabe).

Sürecin örtük hedefi, UNSAT değeri sabit bir kesir haline gelene kadar amplifikasyon adımını yeniden kullanmanın bir yolunu bulmaktır (PCP teoremini kanıtlamak). Kilit nokta, alfabe boyutu her seferinde geri çekilmediği sürece, sonuçtaki grafiğin son küçültme için gerekli olan şey olmamasıdır.

Örneğinizin gereksinimleri oldukça katıdır. Yalnızca dönüşümün çalışmasını gerektirecek şekilde gevşetirseniz$O(1)$içinde beklenti . Düzgün numune almak mümkündür.$\{0,1,2\}$ beklenti içinde, sürekli olarak bozuk para fırlatır.

Ben bu konuda uzman değilim ama güzel bir örnek alfabenin boyutu kodlama ve özlü veri yapıları önemli miydi. Alfabenin üzerinde bir mesajı temsil etmek istediğinizi düşünün$\{0,1,2\}$ alfabede $\{0,1\}$(örneğin, ikili bilgisayarınızda depolamak için). Gerekli alanı en aza indirmek istiyorsunuz, ancak aynı zamanda mesajın ayrı ayrı karakterlerini hızlı bir şekilde okuyabilmek ve yazmak istiyorsunuz (diyelim ki$O(1)$). Bunun gibi sorunlar bir süredir incelenmektedir. Dodis, Patrascu ve Thorup'un son makalesi ve içindeki referanslar iyi bir başlangıç ​​noktası olmalıdır.

Hata düzeltme kodlarında, ikili kodlar ve kodlar arasında daha büyük alfabelere göre temel bir fark olması mümkündür; ikili durumda sıkı olmalı ve cebirsel geometri kodları ile büyük bir alfabe üzerinde sıkı olmadığı bilinmektedir. Bu, bazılarının büyük bir alfabe için standart hata düzeltme kodları tanımının ikili hata düzeltme kodlarının doğru analogu olmadığını tahmin etmesine yol açtı.

Sonuçta ortaya çıkan teoride dramatik farklar yaratan alfabe boyutundaki küçük farklılıklar üzerine yaptığım araştırmada ilginç bir durumla karşılaştım. Bir kaba açıklama bir öğrenci gizli devrenin kapıları geçersiz kılmak ve ortaya çıkan çıktıyı gözlemleyebilirsiniz ve hedef bir "işlevsel olarak eşdeğer" devreyi üretmektir: olasılık devreleri öğrenme sorununun şudur. Boole devreleri için, bir kapının çıkış üzerinde "etkisi" olduğunda, bu kapıdan devrenin çıkışına kadar etkili bir yol izole edilebilir. Alfabe boyutunda devreler için$\ge 3$bu artık geçerli değil - yani, çıkış değeri üzerinde büyük etkisi olan kapıları olan, ancak çıkışa giden herhangi bir yol boyunca etkisi olmayan devreler var! Bu sonucu oldukça şaşırtıcı bulduk.

Sonuç biraz tekniktir, ancak ilgileniyorsanız, ilgili teorem ifadeleri için Lemma 8'i Bölüm 4.1 ile karşılaştırabilirsiniz.