Kolmogorov teorilerinin karmaşıklığını karşılaştırma

Chaitin'in eksiklik teoremi , yeterince güçlü bir aritmetik teorisinin kanıtlayamadığını söylüyor $K(s) > L$; burada $K(s)$ , dizilerinin Kolmogorov karmaşıklığıdır $s$ve $L$ , yeterince büyük bir sabittir. $L$ , bir kontrol cihazının (PCM) bit cinsinden boyutundan büyükse yeterince büyüktür . Teori için bir PCM $T$, girdi olarak bir tamsayı olarak kodlanmış bir dize alır ve eğer dize dilinde geçerli bir kanıtsa 1 verir $T$.

Diyelim ki $L(T) > |PCM_T|$teorisine $T$ bir üst karmaşıklığını bağlanmış olan $T$ . Aşağıdaki teori hiyerarşisini düşünün: Temel teori Robinson aritmetiği olsun ( $Q$ ). Takviye $Q$ polinom sınırlı indüksiyon giderek daha güçlü seçmesini. Let $Q^*$ ile teoremi kanıtlanabilir kuramı olduğu $Q$ ve bu sınırlı indüksiyon aksiyomların herhangi biridir. Biz tanımlayabilir varsayalım $L(Q)$ ve $L({Q^*})$ her teori için PCM tanımlayarak.

için geliştirilmiş bir kanıt kontrol makinesi (EPCM) düşünmek istiyorum $Q^*$. Bu EPCM, bir dizeyi bir ECM gibi girdi olarak alır ve alt-teorisinin derecesini ve seviyesini tanımlayan ikinci bir girdiye sahiptir $Q^*$. Giriş dizesi geçerli bir kanıt ise $Q^*$ EPCM sonra kullanılan en yüksek rütbe ve indüksiyon düzeyini belirlemek için ispat adımları uygular. Giriş cümlesi belirtilen alt teoride geçerli bir kanıt ise bu EPCM sonra 1 yazar $Q^*$ .

Tanımladığım gelişmiş kanıt denetleyicisi uygulanabilir mi? Eğer öyleyse, bu EPCM boyutu olurdu bir üst sadece karmaşıklığı için değil bağlı $Q^*$ , aynı zamanda bir üst herhangi bir alt teorinin karmaşıklığına bağlı $Q^*$ ?

$Q^*$ ve tüm alt teorilerinin karmaşıklığı üzerinde sürekli bir üst sınır olduğunu söylemek mantıklı mı ?

---

Bu soru Nelson'ın aritmetik tutarsızlığının başarısız kanıtları ile ortaya çıkmıştır. Bunu daha önce belirtmedim çünkü bazı insanlar bu kanıtı rahatsız edici buluyor. Motivasyonum ilginç bir soru sormak. CSTheory bu soru için doğru forum gibi görünüyor. ve tüm alt teorilerinin karmaşıklığı ya sabit ya da sınırsızdır. Her iki cevap da daha fazla soruya yol açar.$Q^*$

Alt teorilerin karmaşıklığı sınırlı değilse biz en zayıf alt teori ne gibi sorular sorabilir daha karmaşık Q * ? Yoksa PA ve ZFC'den daha mı karmaşık? Bu soruyu düşünmek bana zaten bir teorinin Kolmogorov dizelerinin karmaşıklığı hakkında ne kadar kanıtlayabileceği konusunda ciddi bir sınır olduğunu gösterdi. Eğer Q * kanıtlayabilirim alt teorilerin tutarlı yerine none K ( s ) > L ( Q * ) herhangi bir dize için. Bu, gerçekten güçlü alt teorilerin bile, zayıf teorinin Q'dan daha karmaşık olduğu daha zayıf alt teoriden daha karmaşık dizeler olduğunu kanıtlayamadığı anlamına gelir.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

Bu soruya cevap vermeye çalışacağım ve sorunun tam şekliyle ilgili bazı karışıklıkları gidermeye çalışacağım.

$L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$. Bağımsız değişken çok basittir: mevcutsa , öyle ki daha sonra hipotezi ile.$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

Bununla birlikte, bu sadece mutlak Chaitin sabiti ise doğrudur . Özellikle, kanıtlarsa , $L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

Chaitin'in argümanını içselleştirerek. Bununla birlikte , bir beton için$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

genel olarak eşit olmayacaktır$L(T)$ . Özellikle çok daha büyük olabilir, genellikle deki ispatının büyüklüğü ile$\mathrm{Con}(T)$$T'$ orantılı olabilir . Bu, önemli bir şekilde kıvamına dayanan teoremin kendisinin kanıtında kolayca görülebilir .$T$

Dolayısıyla, sınırlı indüksiyon ile sistemin tutarlılığını kanıtlayabilirken, bu kanıtların uzunluğu ifade bakımından ya yaklaştıkça uzar (eksiklik teoremlerini anlamanın bir yolu, ulaştığınızda uzunluğun sonsuz hale gelmesidir. olduğu için kendisinde sonlu bir tutarlılık kanıtı yoktur ). Bu nedenle, aynı çeşitli üst sınır için de geçerlidir iç s Her bir alt teorisine tanımlayabiliriz.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

İşte sorunuzun kısa cevabı: , tüm alt-alt alanları için eşit olarak sınırlandırılmıştır , ancak kendisi bu bağın bu tür tüm alt teoriler için geçerli olduğunu gösteremez. Bu, Nelson'ın yaptığı (birkaç biçimcilik altına gömülü) önemli bir hataydı ve Tao'nun burada dikkat çekti .$L(T)$$Q^*$$Q^*$