Genel grafiklerde mükemmel eşleşme için Deterministik Paralel algoritma?

karmaşıklık sınıfında , sınıfında OLMAMASI için tahmin edilen bazı problemler vardır , yani deterministik paralel algoritmalarla ilgili problemler. Maksimum Akış sorunu buna bir örnektir. Ve içinde sorunlar var , ancak henüz bir kanıt bulunamadı.N C N $\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

Mükemmel uyum sorunu grafik teorisi yükseltilmiş en temel sorun biridir: bir grafiktir verilen , biz bir mükemmel uyum bulmak zorunda . İnternette bulabildiğim gibi, Edmonds'un güzel polinom zaman Çiçeği algoritmasına ve 1986'da Karp, Upfal ve Wigderson'un RANDOMIZED paralel algoritmasına rağmen, sadece birkaç grafik alt sınıfının algoritmaları olduğu bilinmektedir .G N $G$$G$$\mathsf{NC}$

Ocak 2005'te, Hesaplamalı Karmaşıklık blogunda Perfect Matching'in içinde olup olmadığını açık olduğunu iddia eden bir yazı var . Sorum şu:$\mathsf{NC}$

O zamandan beri randomize algoritmasının ötesinde bir ilerleme var mı ?$\mathsf{NC}$

İlgimi açıklığa kavuşturmak için, GENEL grafikler ile ilgili herhangi bir algoritma güzel. Grafiklerin alt sınıfları için algoritmalar da iyi olsa da, bu benim dikkatimde olmayabilir. Hepinize teşekkür ederim!

12/27'de DÜZENLE:

Tüm yardımlarınız için teşekkür ederim, tüm sonuçları tek bir şekilde özetlemeye çalışıyorum:

Bilinen en düşük sınıflar aşağıdaki sorunları içerir:

• Genel grafiklerde eşleme: [ KUW86 ], [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• taraflı düzlemsel / sabit cins grafiklerde : / [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]S P $\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• Toplam sayı polinom olduğunda eşleme: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Lex-ilk maksimum eşleme: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

Ayrıca, makul karmaşıklık varsayımı altında: üstel devreler gerektirir, Genel grafiklerde eşleştirme [ ARZ98 ] 'dir.S P $\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

$NC$

$NC^2$

$NC$$P$$NC$$NC$

$UL$$NC$$UL$$NC$

Bu yardımcı olur umarım.

Birkaç yıl sonra :) ve Perfect Matching'in şimdi Quasi-NC'de olduğu biliniyor (yani, yarı polinom olarak birçok işlemciye ihtiyacınız var). Fenner, Gurjar ve Thierauf'un makalesine bakınız (iki taraflı grafikler için) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf ve Ola Svensson ile çalışmalarımız (genel grafikler için): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

İzolasyon lemmasının Tewari-Vinodchandran tarafından derandomizasyonu maalesef düzlemsel eşleşmede UL üst sınırı vermez. Aslında düzlemsel eşleme için bir NC algoritmasının bilinmediğini bile sanmıyorum. Ancak Datta, Kulkarni ve Nimbhorkar ile yakın zamanda yapılan bir çalışmada, iki taraflı düzlemsel eşleşmede UL üst sınırı gösteriyoruz (bu sonucun yazımı hala devam ediyor). Bu ilginç çünkü bundan önce NL problemi bile bu sorun için bilinmiyordu.

Bir optimizasyon probleminin zor olduğu biliniyorsa, maksimum sürümlerine bakmak normaldir. Örneğin, bağımsız küme NP-Complete iken, lex ilk maksimum bağımsız küme, yani P-Complete.

$\sqrt n$

Bütün bu noktalar bunun için kolayca paralelleştirilebilir bir NC versiyonunun bulunmayabileceğini söylüyor. Ama sonra kim bilir? Birisi önümüzdeki hafta RNC versiyonunu derandomize edebilir!

Düzenleme: Teşekkürler Ramprasad. Ama işte makaleye bir bağlantı daha .

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin ve S. Plotkin. Eşleşmelere paralel olarak yaklaşma. Bilgi. Proc. Letonyalı, 46 (3): 115,1993