Mantıksal çerçeve ve tip teorisi

Mantıksal çerçeve ve tür teorisi arasındaki fark nedir? Her ikisinin de türleri, terimleri vardır ve bağımlı olarak yazılan lambda hesabına dayanır.

Lambda-pi analizine dayanan Edinburg LF var, ancak bana öyle geliyor ki, orada bazı ince farklar var.

lo.logic type-theory

— Konstantin Solomatov
kaynak

Özet. Mantıksal bir çerçeve, tümdengelim sistemlerinin sözdizimsel nesneler haline geldiği tümdengelim sistemlerinin resmileştirilmesi için bir meta dildir.

Tabii ki bir meta dil olarak sayılan şey oldukça belirsizdir ve mantıksal çerçevelerin tarihsel gelişimini anlamak yararlıdır. İlk mantıksal çerçeve de Bruijn'in hesabına dayanan Automath (1) idi. Automath dil ailesinden gelen fikirlerin çoğu modern mantıksal çerçevelere ulaştı. Martin- Löf'ün -calculi'ye dayanan yapıcı tip teorileri üzerine çalışmaları da etkili olmuştur. $\lambda$ $\lambda$

$\lambda$ $A \rightarrow B$ $\Pi x^A. B$ $A \rightarrow B$ $\Pi x^A. B$

\frac{Γ ⊢ M : A \to B Γ ⊢ N : A}{Γ ⊢ M N : B} \frac{Γ ⊢ M : Π x^{A} . B Γ ⊢ N : A}{Γ ⊢ M N : B {N / x}}

$\newcommand{\TYPES}[3]{#1 \vdash #2 : #3} \newcommand{\SUBST}[2]{\{#1/#2\}} \frac{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{M}}{A \rightarrow B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{MN}}{B} } \qquad \frac{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}M}}{\Pi x^A. B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}{MN}}}{B\SUBST{{\color{red}N}}{x}} }$

Solda, basitçe yazılan -calculus kuralı, sağda solu tip bağımlılığı ile genelleştiren kural var. Sağdaki sonuçta bir değerin türüne 'aktığını' görüyoruz. $\lambda$

Etkileşimli kanıt asistanı Isabelle'in ' calculus'a dayalı sezgisel ikinci dereceden mantık , mantıksal çerçeve olarak herhangi bir sayı veya özyinelemeli veri türleri olmadan kullanıldığını düşünüyorum. Çeşitli diğerleri önerilmiştir. $\lambda$

Kullanmanın bir avantajı mantıksal çerçeve olarak -calculi evrensel Nicelik gibi bağlayıcı yapılar çerçevenin kullanılarak uygulanabilir olmasıdır -binder. Çoğu mantıksal çerçevenin açıkça zayıf olduğunu unutmayın: çerçeveler nesne düzeyinde mantığı destekler, ancak belirli bir nesne düzeyinde ifadenin bir teorem olduğu gerçeğinin ötesinde çok fazla meta-teorik mantık yürütmek için yetersizdir. Aslında metal-mantık genellikle o kadar zayıftır ki, Hilbert tarzı bir nesne mantığı için kesinti teoremini kanıtlamak bile imkansızdır. Elbette hiçbir şey daha güçlü tip teorilerini mantıksal bir çerçeve olarak kullanmanızı engellemez. $\lambda$ $\lambda$

Bu pratik ve tarihsel nedenlerden dolayı, günümüzde kullanılan çoğu mantıksal çerçeve -calculi, yani tip teorileri olarak yazılmıştır . Mantıksal çerçevelerin daha derinlemesine tartışılması için (3, 4) 'e bakınız. $\lambda$

N. de Bruijn: Matematiksel Dil OTOMATİK, Kullanımı ve Bazı Uzantıları.
RF Harper, F. Honsell, G. Plotkin: Mantık Tanımlama Çerçevesi .
F. Pfenning: Mantıksal çerçeveler.
F. Pfenning: Mantıksal çerçeveler - Kısa Bir Giriş .

— Martin Berger
kaynak

Basitçe yazılan lambda hesabının ve birinci dereceden mantığın temellerini zaten bilen biri için uygun kanıt asistanları (mantıksal çerçeveler) hakkında herhangi bir tanıtım kitabı biliyor musunuz?

— Trismegistos

@Trismegistos Korkarım yapmam. Belirli bir asistan öğrenmenizi öneririm. Agda temelde Haskell olduğu için girmenin en kolay yoludur, ancak bağımlı türlerle. Deneyimlerime göre, mantıksal çerçeve ispat asistanlarının diğer boyutları kadar önemli değildir. Örneğin Isabelle, farklı mantıklarla başlatabileceğiniz genel bir kanıttır, bu yüzden gerçekten mantıksal çerçeveyi ortaya koyar. Ancak Isabelle / HOL pratikte kullanılan tek örnekleme. Bunun nedeni, tüm kanıt taktikleri, tüm kanıtlayıcı desteğin HOL nesne mantığı için yazılmış olmasıdır. Ve bir kanıtlayıcının kullanılabilirliği bunlara bağlıdır.

— Martin Berger