Karmaşıklık Teorisinde Koruma Yasaları Var mı?

Bazı örneklerle başlayayım. CVP’nin P’de olduğunu göstermek neden bu kadar önemsizdir; ikisi de P-komple problemlerdir.

Ya da öncelik kazanın. Kompozitleri NP cinsinden göstermek, NP cinsinden (Pratt gerektiren) ve nihayetinde P cinsinden kullanmaktan daha kolaydır. Neden bu asimetriyi göstermek zorundaydı?

Hilbert'i biliyorum, yaratıcılığa ihtiyacım var, ispatlar NP'de vb.

Ölçülebilir bir "iş" kavramı var mı ve karmaşıklık teorisinde bir "koruma kanunu" var mı? Bu, örneğin, CVP ve LP'nin her ikisinin de P-tamamlanmış olmasına rağmen, karmaşıklıklarını "farklı yerlere" gizlediklerini - biri indirgemede (CVP basit midir, çünkü tüm işler indirgemede yapılır?) Ve dilin açıklığının dibinde.

Başkaları da merak uyandıran ve bazı içgörülere sahip olan? Yoksa bu hesaplamanın niteliği olduğunu silip silip kabul ediyoruz?

Bu foruma ilk sorum: parmak çarpı işareti.

Düzenleme: CVP Devre Değer Sorunu ve LP Doğrusal Programlama. Bir karışıklığa dikkat çektiğiniz için teşekkürler Sadeq.

Bu, aklımdan defalarca geçen bir soru.

Bence bakılacak tek yer bilgi teorisi. İşte benim bir spekülasyon. Bir problem verildiğinde, belki girdi olarak verilen bilgilere ve algoritmadan elde edilen bilgilere bir tür entropi değeri verebiliriz. Bunu yapabilseydik, o zaman bu problemi çözmek için bir algoritmanın gerektirdiği asgari miktarda bilgi kazanılmış olacaktı.

Anlamak istediğim ilgili bir şey var. Bazı NP-komple problemlerde, P'de sınırlı bir versiyonunu bulabilirsiniz; Hamiltonian yolu ile grafiğin bir DAG olduğunu belirtirseniz, çözmek için bir p-time algoritması vardır. TSP gibi diğer problemlerde çoğu zaman optimum olanı sağlayacak p-time algoritmaları vardır. Bana öyle geliyor ki, kısıtlı p zamanı algoritmaları için varsayılan toplama bilgisi ile çalışma zamanı karmaşıklığının azaltılması arasında bir orantılı ilişki olması gerekiyor. TSP konusunda ek bilgi almıyoruz, herhangi bir algoritmik bilgi kazancı üzerinde benzer bir etkiye sahip olmasını beklediğim kesinliği gevşetiyoruz.

Koruma Yasası Hakkında Not

1900'lü yılların başında, Emily Noether adında çok az bilinen Alman-Amerikan matematikçi vardı. Diğer şeylerin yanı sıra Einstein ve Hilbert tarafından matematik tarihindeki en ithalatçı kadın olarak tanımlandı. 1915'te şimdi Noether'in İlk Teoremi olarak bilinen şeyi yayınladı . Teorem, korumanın fiziksel yasaları hakkındaydı ve tüm koruma yasalarının, fiziksel sistemde karşılık gelen bir diferansiyel simetriye sahip olduğunu söyledi. Açısal Momentumun Korunumu Uzayda Dönel Bir Simetriden Gelir, Doğrusal Momentumun Korunması Uzayda Çevirme, Enerjinin Korunumu Zamanla Çevirmedir. Örgün bir anlamda karmaşıklığın korunmasına ilişkin bir yasa olması için, bir Langragian fonksiyonunda karşılık gelen diferansiyel simetriye ihtiyaç duyulacağı düşünülmektedir.

Sanırım sebebi kullandığımız mantıksal sistemin içinde yatıyor. Her resmi sistemin bir takım aksiyomu ve bir çıkarım kuralları vardır .

Resmi bir sistemdeki ispat, sadece bir formül dizisidir, öyle ki dizideki her formül bir aksiyomdur veya dizilimdeki önceki formüllerden bir çıkarım kuralı uygulanarak elde edilir. Resmi sistemin bir Teoremi ispat sadece son formülüdür.

Bir teoremin ispatının uzunluğu, mantıksal sistemde karar verilebileceğini varsayarak, tamamen aksiyom kümelerine ve çıkarım kurallarına bağlıdır .

Örneğin, birkaç karakterizasyonu olan önermeli mantığı düşünün: Frege (1879), Nicod (1917) ve Mendelson (1979). (Daha fazla bilgi için bu kısa ankete bakınız .)

$\varphi \to \varphi$

Bu sorun kanıt karmaşıklığı olarak adlandırılır . Beame & Pitassi'den alıntı yapmak için :

Mantığın en temel sorularından biri şudur: Evrensel olarak doğru bir ifade (totoloji) verildiğinde, bazı standart aksiyomatik kanıt sistemindeki ifadenin en kısa kanıtı ne kadardır? Bu sorunun önerme mantığı, bilgisayar teorisinde hem teorem hem de karmaşıklık teorisi için özellikle önemlidir. Önemli ilgili algoritmik sorular: Herhangi bir totolojinin kanıtını üretecek etkili bir algoritma var mı? Herhangi bir totolojinin en kısa kanıtını üretmek için etkili bir algoritma var mı? Teorem ispatlama ve karmaşıklık gibi sorular, Cook'un “teorem ispatlama prosedürlerinin karmaşıklığı” başlıklı NP bütünlüğü konusundaki seminal belgesine ilham verdi ve daha önce Göval tarafından daha iyi bilinen von Neumann'a yazdığı mektubunda düşünülmüştü.

Geçen gün Feynman'ın Fizik Derslerinden bazılarını tekrar okuduğumda ve aynı zamanda enerjinin korunmasına ilişkin 4. derse geldiğimde de aynı soruyu düşünüyordum . Derste Feynman (bazı kaldıraçlar veya kasnaklar sistemi veya herhangi bir şekilde) bir mesafenin x kadar bir miktarını x düşüren ve ikinci bir ağırlığı 3 birimin kaldırması için kullanan basit bir makine örneğini kullanır. Ağırlık ne kadar yüksek kaldırılabilir? Feynman, makinenin tersine çevrilebilir olması durumunda makinenin mekanizması hakkında hiçbir şey bilmemize gerek olmadığını - makineye kara bir kutu gibi davranabileceğimizi - ve her zaman mümkün olan maksimum mesafeyi kaldıracağını gözlemler. bu durumda x / 3).

Bunun hesaplamada bir analogu var mı? Tersine çevrilebilir hesaplama fikri, Landauer ve Bennett'in çalışmalarını akla getiriyor, ancak bunun bizim ilgilendiğimiz terimin anlamı olduğundan emin değilim. Sezgisel olarak, eğer optimal olan bazı problemler için bir algoritmaya sahipsek, çalkalama bitleri yapılan hiçbir israf "iş" yoktur; Aynı soruna kaba kuvvet yaklaşımı ise CPU döngülerini sola ve sağa fırlatıyor olacaktı. Bununla birlikte, bir algoritma için fiziksel olarak tersinir bir devre inşa edebileceğini hayal ediyorum.

Hesaplamalı karmaşıklık için bir koruma yasasına yaklaşmada ilk adımın tam olarak neyin korunması gerektiğini anlamak olduğunu düşünüyorum. Uzay ve zaman her biri önemli ölçütlerdir, ancak ne zaman tek başına bir algoritma tarafından "iş" yapıldığının bir ölçüsü olarak kendi başına yeterli olamayacak olan uzay / zaman değişimlerinin varlığından açıkça anlaşılır. TM kafa dönüşleri veya kullanılmış olan teyp hücre geçişleri gibi başka ölçütler de vardır. Bunların hiçbiri gerçekten bir hesaplama yapmak için gereken "iş" miktarının sezgisine yakın görünüyor.

Sorunun ters tarafı, bu işin neye dönüştürüldüğünü bulmaktır. Bir programın çıktısını aldıktan sonra, tam olarak ne elde ettiniz?

Koruma hukukunun varlığını gösteren bazı gözlemler:

$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

$P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

Tao, matematikte zorluğun korunması yasasının varlığını öne sürüyor : “Gerçekten önemsiz olmayan herhangi bir sonucu kanıtlamak için, bir yerde zor bir çalışma yapılması gerekiyor”.

Bazı matematiksel kanıtların zorluğunun , teorem kanıtlama sürecinin ihtiyaç duyduğu çaba miktarına daha düşük bir sınır getirdiğini öne sürdüğünü savunuyor .