Doğal ispat bariyerinin kapsamı

Razborov ve Rudich'in doğal kanıt bariyeri, güvenilir kriptografik varsayımlar altında, yapıcı, büyük ve kullanışlı işlevlerin birleştirici özelliklerini bularak NP'yi P / poli'den ayırmayı umamayacağını belirtiyor. Bariyeri atlatmayı başaran birçok iyi bilinen sonuç vardır. Chow'un bariyerin zayıf büyük çaplı ihlallerine karşı hassas olduğunu göstermesi ve Chapman ve Williams'ın yakın tarihli bir makalesi gibi, üç koşula olası boşlukları tartışan birkaç makale de var.kullanışlılık koşulunu gevşeterek bariyerin nasıl önlenebileceğini önermek. Benim sorum, yapıcılık, büyüklük veya kullanışlılığı ihlal etmekle değil, tamamen kapsamının dışına çıkarak doğal kanıt bariyerinden kaçınmanın herhangi bir örneği veya hatta olasılığı olup olmadığıdır. Yani, her potansiyel kanıt yönteminin neden birleştirici "özellikler" bulmaya ve daha sonra tüm fonksiyonları mülkiyeti karşılayan ve karşılamayan bölümlere ayırmaya dayanması gerektiği açıktır. Bu çalışma çerçevesi neden tüm olası kanıtlar için geçerli olmalıdır ve eğer değilse, diğer kanıt türleri nasıl görünür?

Let bir işlev olabilir ve izin C sonlu dilimleri üzerinde çalışan algoritmalar sınıf olmak f . Her devre alt sınırı , bazı f ve bazı C için f ∉ C'nin bir kanıtıdır . "Boolean işlevlerinin birleşik özelliği" P f'yi göz önünde bulundurun , öyle ki$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$$C$$f$$f \notin C$$f$$C$${\cal P}_f$

Tümg≠fiçin P f (f)=1ve P f (g)=0.${\cal P}_f(f) = 1$${\cal P}_f(g) = 0$$g \neq f$

Bir kanıtıdır bir kanıtıdır P f olduğu karşı yararlı C Razborov ve Rudich terminolojisinde. Yani, "kullanışlılık" tamamen kaçınılmazdır - "kapsamının dışında kalmanın" bir yolu yoktur. Eğer bir devre alt sınırını kanıtladıysanız, bazı yararlı özellikler vermişsinizdir.$f \notin C$${\cal P}_f$$C$

Not ise, bu , daha sonra P f Razborov ve Rudich terminolojisinde, hem de aynı zamanda yapıcıdır. Böylece fonksiyonlar için ön hesaplanabilir içinde E (ki) içerisinde değil, P / p O l y , constructivity da karşı faydalıdır Boole fonksiyonlarının en az bir özellik için de geçerlidir P / p O l y .$f \in TIME[2^{O(n)}]$${\cal P}_f$$f$$E$$P/poly$$P/poly$

Yani, Razborov ve Rudich başlangıçta düşündüğünüzden daha temel.

Haklısınız: Doğal ispat teoremi, doğal özelliklerle ilgilidir (ve sadece ispatlar hakkında gayri resmi). Razborov'un kendisi, resmi kanıtlar ve karmaşıklık alt sınırları sınıfına bakarak aynı zamanda iki makale yazdı:

• Boole Karmaşıklığında Sınırlı Aritmetik ve Alt Sınırlar , 1995
• Sınırlı Aritmetiğin Bazı Parçalarında Devre Boyutunda Alt Sınırların Karsızlığı , 1995

İlk çalışmalar, zayıf aritmetik parçalarında mevcut alt sınır kanıtlarının resmileştirilmesini inceler (karmaşıklık teorisinin alt sınırlarını kanıtlamanın sertliği üzerindeki üst sınırlar).

İkinci makale, daha güçlü karmaşıklık teorisinin alt sınırlarını kanıtlamanın sertliğiyle ilgili daha düşük sınırlarla ilgilidir: P ≠ N P'yi kanıtlamak için ne kadar matematiğe ihtiyacımız var ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ ihtiyacımız var mı? Z F ? P A ? Belki de en azından P V ? ( P V kullanarak kavramları akıl tekabül eden teori olarak kabul edilir , P ). İkinci makale için ideal bir sonuç:$ZFC$$ZF$$PA$$PV$$PV$$\mathsf{P}$

, P ≠ N P'yi kanıtlayamaz (makul bir resmileştirme).$PV$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Bunu yapmak için , P V'deki alt sınır kanıtlarından doğal özellikler çıkarabileceğimiz gayri resmi fikri resmileştirmeliyiz . Ancak ikinci makaledeki sonuçlar bundan daha zayıftır.$PV$

Bu yüzden bizim bildiğimiz kadarıyla mümkündür herhangi konsept dışında kullanmayan bir kanıtı yok P . Aslında bilgimizin en iyisi, çok daha zayıf teorilerin ayrılığı kanıtlayabildiğini görmek mümkündür.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$