Cheeger sabiti -hard mı?

Sayısız olarak, bir grafiğin Cheeger sabitini belirlemenin -hard olduğunu birçok makalede okudum. Bir halk teoremi gibi görünüyor, ancak bu açıklama için asla bir alıntı veya kanıt bulamadım. Bunun için kime kredi vermeliyim? Eski bir makalede (İzoperimetrik Grafik Sayıları, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar, yalnızca "çoklu kenarlı grafikler için" iddiasını kanıtlar. $\mathsf{NP}$

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M.
kaynak

Yanıtlar:

Bu sorunla olarak tanımlanan kenar genişletme sertliği (veya Cheeger sabiti) için atıf gerektiren bir yazı yazarken de karşılaştım. $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ . Leighton ve Rao’nun ayırıcılar üzerine yazdığı klasik makale ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) bunun zor bir problem olduğunu ve Garey, Johnson ve Stockmeyer'in makalesini ( http: / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591). Bahsedilen makalede kenar genişlemesi söz konusu olmadığı için bir süre neyi kastettiklerini anlayamadım. Bu konuda Avi Wigderson ile iletişim kurdum. Sonunda Garey ve ark.nın yazısında gösterildiği gibi Max-Cut'un sertliğini, kenar genişlemesinin zor olduğunu nispeten kolay bir şekilde göstermek için kullanabileceği ortaya çıktı. Ayrıntıları şimdi unutuyorum ama yeniden yaratması zor olmamalı. Blum, bir grafiğin bir süper yoğunlaştırıcı olup olmadığını kontrol etmenin sertliği ile ilgili makalesinde, doğrudan kenar genişlemesinin sertliği anlamına gelmez. Teknik olarak aynı problem değiller.

— Chandra Chekuri
kaynak

Kenar genişletme sertliğini kullanan kağıdım onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Kenar genişletme sertliği için Leighton-Rao kağıdına ve Stockmeyer Garey, Johnson kağıdına başvuruyoruz.

— Chandra Chekuri

Teşekkürler! Teknik olarak Cheeger sabitini belirlemenin sertliği literatürde kanıtlanmadı mı?

— Delio M.

@DelioM. Muhammed'in cevaplarından birindeki Kaibel referansının eksiksiz bir kanıtı var. Ağırlıksız max kesimden min biseksiyona sadece Garey-Johnson-Stockmeyer indirgemesi, kısacası indirgenme sonucu ortaya çıkan grafiklerde en ince kesimin bir biseksiyon olduğunun kanıtı.

— Sasho Nikolov

Yine de itiraf etmeliyim ki kayboldum. Max-cut'un bir grafiğin "ne kadar çift taraflı" olduğunu belirleme konusu ile ilgili olduğunu her zaman düşündüm. Bu, bir grafiğin "nasıl bağlandığını" bulmak için nasıl yardımcı olabilir? Eşdeğer olarak, işaretsiz Laplacian'ın ikinci en düşük özdeğerini laplacianın ikinci en düşük özdeğerini nasıl bağlayabilir? Bir alt sınır tutma açıktır, ancak bir üst sınır?

— Delio M.

@DelioM. Maksimum Kesim ilk önce daha fazla ilave Min ikiye bölme indirgenir

köşeleri ve elde edilen grafiğin tamamlayıcı alarak. Dolayısıyla bu azalma, iki taraflı bir grafiğin, başka bir grafiğin (birincinin tamamlayıcısıyla ilişkili) nasıl bağlandığına ne kadar yakın olduğu ile ilgilidir.

n

$n$

— Sasho Nikolov

sertliği hesaplama Cheeger sabitinin (veya kenar genişlemesinin) gerçek kanıtı, Kaibel tarafından teknik bir raporda MAX Cut probleminden bir azalma ile verildi (Bkz. Teorem 2). İspat ispat bir uzantısıdır tarafından verilen equicut sorun -hardness bazı basitleştirilmiş NP-tam grafik sorunları Gorey, Johnson ve Stockmeyer . $NP$ $NP$

V. Kaibel: 0/1-polytopes grafiklerinin genişlemesinde. Teknik rapor arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : Aşağıdaki argüman Chekuri tarafından belirtildiği gibi yanlış ve eğitim amaçlı bırakıldı.

İstediğiniz bir referans değil, ancak sertlik sonucunun folklor durumunu açıklar.

Burada, bağlı bir kübik grafiğin kenar genişletici olup olmadığına karar verme ve dolayısıyla Cheeger sabitinin CoNP-hard olup olmadığına karar vermenin CoNP bütünlüğüyle ilgili kanıtı vardır . $h(G)$

En az ikiye bölme sorun -tam $NP$ bağlı kübik grafikler için. Burada , bir tamsayılı grafiğinin , kesilen kenarların sayısının az olacağı şekilde iki eşit büyüklükte bölüme ayrılıp ayrılmayacağına karar vermek istiyoruz . $G$ $k$ $k$

Bu sorunun tamamlayıcısının grafiğinin genişletilip genişletilmeyeceğine karar vermeyle aynı olduğuna dikkat edin (her dengeli bölümü daha fazla kenar kesmiştir ). $G$ $V$ $k$

Bu seminerdeki PS Arora, - expander grafiğini (kenar genişletme) tanımanın hard olduğunu belirtir . http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Muhammed El Türkistan
kaynak

Bu kanıt da işe yaramıyor, çünkü minimum ikiye bölmenin boyutu kenar genişlemesi hakkında hiçbir şey söylemedi. Örneğin,

köşelerinde bağlı olmayan bir grafik minimum ikiye

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

grafiği kübik grafiğe bağlı ve bu sınıf için minimum biseksiyon sorunu NP tamamlandı.

G

$G$

— Muhammed El-Türkistan

@SashoNikolov Bağlantısız grafiklerin genişletilmesi ile ilgilenen hiç kimse görmedim.

— Mohammad Al-Turkistan,

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

Ω (n)

$\Omega(n)$