Bir EXPTIME-tamam problemi için belirsiz bir algoritmanın

Bir EXPTIME-tamam problemi için belirsiz bir algoritmanın NP'yi ima etmek ne kadar hızlı olurdu ? Polinom zamanı belirsiz bir algoritma bunu hemen ima eder çünkü ancak hiç kimse . Eğer cebir doğru yapsaydım (aşağıya bakın) zaman hiyerarşisi teoremi hala çalışma süreleri için etkisini verirdi , ama herhangi bir süperpolinom için tüm bildiğim daha yavaş algoritmaların sonuç vermesine izin veren verimli indirimler ile tam sorunlar var. veya gibi bir şey bildiğimiz EXPTIME-tamamlanmış sorunlar var mı $P \neq NP$ $P \neq EXPTIME$ $NP = EXPTIME$ $P \neq NP$ $O(2^n/f(n))$ $f(\cdot)$ $2^n/n$ $2^n/n^2$ belirsizlik ile yeterli mi?

"Cebir" in : bir dolgu argümanı ile anlamına gelir , bu nedenle EXPTIME-tamamlanmış bir problem için belirsiz olmayan bir algoritması NEXPTIME-tamamlanmış bir problem için de bir tane olacaktır. Süperpolinom bu NTIME'de bazı azaltabileceğimiz için belirsiz zaman hiyerarşi teoremiyle çelişir . $P = NP$ $EXPTIME=NEXPTIME$ $2^n/f(n)$ $f(\cdot)$ $L \in$ $(2^n)$

cc.complexity-theory

— Anonim
kaynak

Zaman hiyerarşisi teoreminden bir çelişki elde etmek için aslında

çalıştırma süresine ihtiyacınız olduğunu düşünüyorum 2no(1) $2^{n^{o(1)}}$ . Ayrıca bence bu pek olası görünmüyor.

— Sasho Nikolov

Sadece soruyu yeniden ifade etmek için: ExpTime

NTime

P'yi ima ettiği en büyük

nedir? f $f$

⊆ $\subseteq$

(f(n)) $(f(n))$

⊈ $\not\subseteq$

— Kaveh

ps: bir hesap açarsanız sorunuzu daha kolay düzenleyebilirsiniz.

— Kaveh

I halinde Sasho doğru olduğuna inanıyoruz

bu şekilde

olan

Komple ve

bir

-Komple ve

indirgenebilir

süresi içinde

, o zaman o hala mümkündür

EXPTIME=NEXPTIME $EXPTIME=NEXPTIME$

L $L$

EXPTIME $EXPTIME$

L′ $L'$

NEXPTIME $NEXPTIME$

L′ $L'$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

her iki taraflı olarak örneği, çünkü

olabilir

daha büyük

. L∈NTIME(2n√k) $L \in NTIME(2^{\sqrt[k]{n}})$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

L′ $L'$

— Joe Bebel

Yanıtlar:

Bence onu ters çevirmek daha kolay.

Eğer , daha sonra bir sabit için , ve herhangi bir . Yana içermeyen $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$ $c$ $T(n) > n$ $\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ , yani içinde bazı $\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$ $\mathsf{DTIME}(2^n)$ $\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$ $\epsilon$ . Bir belirli olmayan zaman Yani için bir problemi çözmek için algoritma yarı-doğrusal azalma altında kanıtlamak için yeterli olacaktır . $2^{o(n)}$ $\mathsf{DTIME} (2^n)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Russell Impagliazzo
kaynak

ima ettiği için daha kısa bir açıklama sağladığınız için teşekkür ederiz . DTIME(2n)⊆NTIME(2o(n)) $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

P≠NP $P \neq NP$

— Michael Wehar

Ve deterministik veya deterministik olmayan zaman hiyerarşisi teoreminin kullanılabileceğine işaret ettiğiniz için teşekkürler. :)

— Michael Wehar

Basit Yanıt: her biri için - bir sabit olduğu sorun, , öyle ki biz sorunu çözmek eğer $EXPTIME$ $hard$ $c$ , daha sonra. $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $P \neq NP$

Not: sabiti, küçülmelerden kaynaklanan örnek boyutu patlamalarından gelir. $c$

Justification: Let $X$ denote an $EXPTIME$ - $hard$ problem. That means that every problem in $EXPTIME$ is polynomial time reducible to $X$ . In fact, we can show more.

The acceptance problem for $2^n$ time bounded deterministic Turing machines is in $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ and therefore is polynomial time reducible to $X$ .

Therefore, there must be some fixed constant $c$ such that every problem in $DTIME(2^n)$ is polynomial time reducible to $X$ where the instance size blow-up is $O(n^c)$ . That is, instances of size n are reduced to instances of size $O(n^c)$ for $X$ .

Now, if we had $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ , then $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ . However, this implies $P \neq NP$ (see below for details).

Additional Details: One can show that $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$ .

In other words, if you can solve an $NP$ - $complete$ problem in polynomial time, then there is a uniform way of speeding up any problem in $NP$ .

Now, let's suppose that $P=NP$ . By the preceding (with $k$ =1) we get a constant $c^{\prime}$ such that

N T I M E (n) \subseteq D T I M E (n c') .

$NTIME(n) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}}).$

Next, we can use padding to scale up this inclusion and get

N T I M E (2 n) \subseteq D T I M E (2 c' n) .

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}).$

Then, by the deterministic time hierarchy theorem, we have

N T I M E (2 n) \subseteq D T I M E (2 c' n) ⊊ D T I M E (2 (c' + ϵ) n)

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}) \subsetneq DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n})$ for any

ϵ>0 $\epsilon > 0$ .

Therefore, we couldn't have $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

Further, we couldn't have $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ because by padding we would get $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ .

Further Question: Does anyone have any simple examples of $EXPTIME$ - $complete$ problems where we can easily determine the instance size blow-up constant $c$ ?

— Michael Wehar
kaynak

The acceptance problem for

DTIME(2n) $DTIME(2^n)$ is itself

EXPTIME $EXPTIME$ -complete, that is, the language

L={⟨T,x,1m⟩} $L = \{\langle T, x, 1^m \rangle\}$ consisting of DTMs

T $T$ that on input

x $x$ accept within

2m $2^m$ steps, because every language

L′∈EXPTIME $L' \in EXPTIME$ has some

T $T$ that accepts

x∈L′ $x \in L'$ in time

2O(|x|k)) $2^{O(|x|^k)})$ for some

k $k$ , so that proper choice of

m=O(|x|k) $m = O(|x|^k)$ reduces

L′ $L'$ to

L $L$ . In particular the constant (

c=1 $c=1$ ) then seems to show that the speedup (that is,

f(n) $f(n)$ ) must be exponential if to show

P≠NP $P \ne NP$ , if you choose this particular

EXPTIME $EXPTIME$ -complete language.

— Joe Bebel

@JoeBebel Hi Joe, thanks for the comment. I think it's valuable that you further considered this problem

L $L$ . Here, we can say more than just

L∈NTIME(2o(n)) $L \in NTIME(2^{o(n)})$ implies

P≠NP $P \neq NP$ . For this particular artificial problem

$L$ , we may be able to say something like for any

$k$ ,

$L \in NTIME(2^{\frac{n}{k}})$ implies

$NTIME(n) \nsubseteq DTIME(n^{k-\epsilon})$ for all

$\epsilon > 0$ .

— Michael Wehar