Ters Ackermann ile eğlence

Ters Ackermann işlevi, algoritmalar analiz edilirken sıklıkla görülür. Harika bir sunumu burada: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$ [Gösterim: [x], x işaretini en yakın tam sayıya yuvarladığımız anlamına gelirken, log here burada tartışılan yinelenen günlük işlevi: http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]

Benim sorum:

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ Açıkçası

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ .

ne kadar sıkı sınırlar verilebilir

k (n)

$k(n)$ ? Is

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$ ?

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— Dana Moshkovitz
kaynak

Neden olduğunu biliyorum , ama neden olduğunu açıklayabilir misiniz ?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

— Mart'ta

Tamam, tartışmasız .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: Tanıdığım Ackermann hiyerarşisini kullanarak tanımlara yaklaştım: ve . Ackermann işlevlerinin tipik bir tanımı ile . Dolayısıyla sonra , yani . (Umarım orada bir hata

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

— Sylvain

@DanaMoshkovitz: açıklığa kavuşturmak için, tanımınızdan biraz daha hızlı büyüyen ve , örneğin, yerine . Yine de pek bir sonucu olmamalıdır: ve hemen hemen aynı şeydir.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

— Sylvain

@DanaMoshkovitz: Neden anlamıyorum . Sonsuz sayıda değeri için , yani ; Çünkü hızlı büyür, daha uzun ve daha uzun böyle dizileri var. Tanımlarınızla : dolayısıyla ancak .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— Sylvain

Yanıtlar:

Let ters olması . . olduğunu iddia ediyorum . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

Bu yana , ve o zamandan beri , . Sonuç olarak . $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

Şimdi . tanımıyla , bu . Bunu biliyoruz , bu nedenle . olduğunu iddia ediyorum . $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ . Şimdi , yani $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ . Bu yana , , yani . Böylece, $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ . $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$

Yani, , bu nedenle ve esasen eşittir. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
kaynak

Ve tüm bu işlevlerin 4 sayısını yazmanın sadece farklı karmaşık yolları olduğunu

— ekleyeyim

Bu yanlış; yorumlara bakın.

Çok yakın bu bir A işlev "denilen " ve kullanılan Pettie yönettiği "Splay Ağaçlar, Davenport-Schinzel Diziler ve deque Sanısı" , hangi o "gösterdi [a yayvan ağacında] deque işlemleri sadece almak süresi; burada , ters Ackermann fonksiyonunun bir sabitle eşleştirdiği minimum uygulama sayısıdır . " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

Bu fonksiyon çok yavaş büyüyor ve den daha yavaş büyüyor . işlevini göz önünde bulundurun $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n> 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

Bu işlev kabaca kadar hızlı büyür , bu nedenle den daha yavaş büyür . Şimdi üzerindeki ve değerlendireceğim : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

günlük α ({bir}^{'} (f (n))) = günlük f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} ({bir}^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} ({bir}^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~Yana , çok daha hızlı büyüyen . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
kaynak

Alpha ^ * ve k (n) arasındaki ilişki nedir? (k (n) tanımında, sorudaki bağlantıda tanımlanan alpha_k (n) gösterimini kullandığımı unutmayın)

— Dana Moshkovitz

Oh, üzgünüm, senin okumak ediyorum

olarak

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— jbapple