Etkileyici Tip Teorisinin Ramification

Fark ettiğim çoğu tür teorisi öngörücüdür, yani

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

bu pi tipi, aynı evrene ait olduğu için çoğu teorem sağlayıcısında iyi yazılmamıştır Propve durum böyle değildir Prop : Prop. Bu onları öngörücü kılar ve yukarıdaki gibi imkansız tanımlara izin vermez. Bununla birlikte, Sistem F veya CoC gibi çok sayıda "karatahta dili" aslında tahmin edilemez. Aslında, bu imkansızlık, dilde ilkel olarak yer almayan yapıların çoğunun tanımlanması için hayati önem taşımaktadır.

Sorum şu: Neden mantıklı yapıları tanımlama gücü göz önüne alındığında, neden ölçülemezlikten vazgeçmek istesin ki? Bir kaç kişinin imkansızlığın "hesaplama" ya da "tümevarım" ı bozduğunu söylediğini duydum ama somut bir açıklama bulmakta zorlanıyorum.

lo.logic type-theory

— Daniel Gratzer
kaynak

Tip teorisyenleri öngörücü mü yoksa teorileri mi?

— Andrej Bauer

Sanırım Coq sizin için "çoğu teorem sağlayıcısı" değildir, çünkü yukarıdaki tanımı kabul eder.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer Neden ikisi de olmasın? :) Sanırım coq tahmin edici bir evrenin yanı sıra etkileyici bir evrene sahiptir. Sanırım sorum şu. "Set de neden imkansız değil?" coq bağlamında

— Daniel Gratzer

Tip neden tahmin edilemez? > Türü Kontrol Et. Tür: Tür. Lanet olsun :)

— cody

Geliştiricileri rahatsız etmeye gerek yok! Impredicative Seti oldukça kötü olduğunu ve özellikle bazı oldukça doğal seçim ilkelerine aykırı ve sözde "bilgilendirici orta dışlanmış" forall P : Type, {P} + {~P}Bu + impredicative seti geçirmez münasebetsizliğini ima (ve gibi natolduğu değil ilgisiz geçirmez). Bkz. Örneğin coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.html ve coq.inria.fr/library/Coq.Logic.Berardi.html

— cody

Yanıtlar:

Yorumlarımı bir cevaba dönüştüreceğim. Russel'in motivasyonlarından biri, XIX. Yüzyıldaki tutarsızlıkların ve paradoksların kaynağının bir parçası olarak tanımlanan "dairesel" tanımları yasaklamak olduğundan, tahmini tip teorisinin kökenleri neredeyse tip teorisinin kendisi kadar eskidir. Thierry Coquand burada aydınlanmış bir genel bakış sunar . Bu teoride, bir "seviye" ya da tip üzerindeki tahminler, sonsuz (sayılabilen) sayıda seviyenin olduğu "sonraki" seviye tiplerine aittir.

Russel'in tahmini hiyerarşisi (görünüşte) bilinen paradoksları reddetmek için yeterli olsa da, temel bir sistem olarak kullanılması çok zor olduğu ortaya çıktı. Özellikle, gerçek sayı sistemi kadar basit bir şeyi tanımlamak son derece zordu ve bu nedenle Russel , tüm seviyelerin bire "indirgenmiş" olduğu düşünüldüğü bir aksiyom, İndirgenebilirlik Aksiyomu önerdi . Söylemeye gerek yok, bu tatmin edici bir gelişme değildi.

Bununla birlikte, "zararlı" öngörücü ifadelerin aksine (sınırsız anlama gibi), bu aksiyom herhangi bir tutarsızlık getirmedi. Daha sonraki temel teoriler formülasyonları ( basit tip teorisi , Zermelo'nun kümeler teorisi ) onları toptan kabul ederek aynı seviyede tahminleri (muhtemelen tüm kümeler evrenini ölçmek) yapar.

1971 dolaylarında, Martin-Löf hem bu ilkenin hem de daha fazla aksiyomun bağlı olduğu bağımlı tip teorisini tanıttı Type : Type. Bu sistem ince nedenlerden dolayı tutarsız olduğu ortaya çıktı: saf Russel paradoksu (doğrudan bir şekilde) oynanamaz, ancak yine de kodlayan akıllı bir çelişki bulunmasına izin verir. Bu, Russel'inkine benzer bir inanç krizine neden oldu ve bildiğimiz ve sevdiğimiz evrenler ile öngörücü tip teorisine yol açtı.

La Zermelo set teorisinin "masum" imkansızlığına izin vermek için teoriyi onarmanın bir yolu vardır, bu da İnşaatlar Hesabı gibi tip teorileriyle sonuçlanır, ancak hasar yapılmıştır ve tip teorisinin "İsveç okulu" imkansızlığı reddetme eğilimindedir.

Birkaç puan:

Bunun sezgisel matematik ile ne ilgisi var? Cevap çok fazla değil. XX. Yüzyılın başında matematikçiler, dairesel / öngörücü ilkelerin kullanımını yapıcı olmayan akıl yürütme ile sınırlama eğilimindeydi (sezgi, akıl yürütmeyen akıl yürütmenin , dışlanmış ortaların kullanımı gibi önceden var olan bir matematiksel evreni varsaydığı görülüyor ). Bununla birlikte, mükemmel sezgisel öngörücü teoriler vardır ( IZF gibi ). Sezgisellikle ilgilenen insanlar hala bir nedenden dolayı prediktivizm ile ilgilenme eğilimindedirler (elbette bundan suçluyum).
Tahminli matematikte neler yapabilirsiniz ? Martin cevabında belirttiği gibi, Hermann Weyl (Andre Weil ile karıştırılmamalıdır), tahmin sistemlerinin Peano Aritmetik ve İkinci Derecesi arasında etkileyici gücü olduğunu gösteren başlangıç noktası olarak, tahmin sistemlerinin ifade gücünü araştırmaya çalışan bir program başlattı. Aritmetik , çoğu standart tarafından etkisiz olduğu kabul edilmiştir (ve tip teorisi tarafında Sistem F ile karşılaştırılabilir). Program daha sonra, bilinen matematiksel teoremlerin gücünü, bunları kanıtlamak için gerekli olan aksiyomlar (normal yaklaşımın tersi ) açısından sınıflandırmaya çalıştığı için "ters matematik" olarak adlandırıldı . wikipedia sayfası iyi bir genel bakış sunar; program oldukça başarılıydı, çünkü XIX.Yüzyıl matematiğinin çoğu çok zayıf sistemlere kolayca yerleştirilebilir. Bu programın, örneğin, daha yüksek kategori teorisinde daha yeni sonuçlara ölçeklenip ölçeklenemeyeceği hala açık bir sorudur (şüphe, cevabın "evet, büyük çaba ile" olmasıdır).

— cody
kaynak

Güzel yayınınız çok ilginç bir yan açıklama içeriyor: " çoğu standart tarafından neredeyse imkansız olduğu kabul edildi ". İnce bir şeye işaret ediyor, yani öngörücü ve öngörücü arasındaki sınırın tam olarak nerede çizilmesi gerektiği net değil.

— Martin Berger

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

Boyutlardan biri tip çıkarımdır. Sistem F'nin tür çıkarımları karar verilebilir değildir, ancak bazı öngörücü parçaları karar verilebilir (kısmi) tür çıkarımlara sahiptir.

Başka bir boyut mantık olarak tutarlılıktır. Değerli düşünürler tarihsel olarak matematiğin öngörülü temellerine sahip olma konusunda biraz endişeli hissettiler. Sonuçta, bu bir tür dairesel akıl yürütmedir. Sanırım H. Weyl, olabildiğince fazla matematiği öngörücü bir şekilde yeniden yapılandırmaya çalışan ilk ya da ilklerden biri olabilirdi ... sadece güvenli tarafta olmak için. Klasik matematiğe göre imkansızlığın döngüselliğinin, 'uysal' öngörücü tanımlardan hiçbir çelişki ortaya çıkmadığı için sorunlu olmadığını öğrendik. Zamanla onlara güvenmeyi öğrendik. Bunun (paradoksun yokluğu) ampirik olduğunu unutmayıngözlem! Bununla birlikte, ispat teorisinin gelişiminin çoğu, garip sıralı yapıları ile nihai matematiğin 'aşağıdan' tüm matematiği, yani kestirimci tanımlar olmadan inşa etme arzusu vardır. Bu program tamamlanmadı. Son yıllarda, matematiğin öngörücü temellerine ilgi, paradoksla ilgili endişelerden, çeşitli nedenlerle ilginç olan kanıtların hesaplama içeriğine kaymıştır. Öngörücü tanımların hesaplama içeriğinin çıkarılmasını zorlaştırdığı ortaya çıkıyor. Tutarlılık konusunda endişe duyulan bir başka açı, Curry-Howard geleneğinden geliyor. Martin-Löf'ün orijinal tip teorisi kestirilemezdi ... ve sağlam değildi. Bu şokun ardından, sadece öngörücü sistemler önerdi, ancak imkansızlığın gücünü yeniden kazanmak için endüktif veri türleriyle birleşti.

— Martin Berger
kaynak

Adil olmak gerekirse, Russel ilk biriydi deneyin . Yine de bir tür yenilgiyi kabul etti (indirgenebilirlik aksiyomuyla).

— cody

@cody Bu girişimlerin tarihine pek aşina değilim. Weyl (ve S. Feferman) girişimlerinde ne kadar başarılı oldu? MLTT / HOTT kesinlikle işe yarar diyebilirim.

— Martin Berger

Temel olarak, Weyl son derece başarılıydı, yani analiz topluluğunun çoğu 2. dereceden (öngörücü) matematiğe başvurmadan resmileştirilebilir. Çalışma gövdesi, ne kadar “imkansızlık” ihtiyacınız olduğunu tam olarak ölçen Ters Matematik'in bir parçası haline geldi .

— cody

Kanıt teorisinin "garip sıralı yapılarıyla" tüm matematiği öngörücü tanımlamalar olmaksızın oluşturabileceği doğru değildir. Mesele, kanıt teorisinin bir boşluk içinde değil, iyi kurulmuş olduğunu kanıtlayamayacağının kanıt teorik bir sıraya sahip olacağı resmi bir sistemde yapılmasıdır. Yani bu arayış kesinlikle “dibe” ulaşamaz. Bazı mantıkçılar Γ [0] 'ın ilk öngörülemez ordinal olduğunu düşünüyorlar ve eğer öyleyse ATR0'a bağlı kalırsınız ve ATR0'ı tahmin edemezsiniz. Değilse, Γ [0] 'nın öngörücü olduğunu doğrulamanız gerekir. Nasıl yapardın?

— user21820

@ user21820 Tüm matematiğin kestirimci tanımlar olmadan inşa edilebileceğini söylemedim, bu açık bir soru.

— Martin Berger

Tip teorileri, ağırlıklı olarak sosyo-teknik nedenlerden ötürü yordamaya eğilimlidir.

Birincisi, gayri resmi emperyalizm kavramı (en azından) iki farklı şekilde resmileştirilebilir. İlk olarak, Sistem F gibi bir tür teorisinin imkansız olduğunu söylüyoruz çünkü tür nicelendirmesi tüm türler arasında değişebilir (nicelleştiricinin ait olduğu tür dahil). Böylece genel kimlik ve kompozisyon operatörlerini tanımlayabiliriz:

\begin{array}{lclll} i d & : & \forall a . a \to a & = & Λ a . λ x . x \\ c o m p o s e & : & \forall a, b, c . (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & Λ a, b, c . λ f, g . λ x . g (f x) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

Ancak, standart (örn. ZFC) küme teorisinde bu işlemlerin nesne olarak tanımlanamayacağını unutmayın . Orada böyle bir şey bir işlev etki alanı seti ve değer kümesi kümesi arasında bir ilişki olduğu için ayarlanan teoride "kimlik işlevi" olarak, ve tek bir fonksiyon kimlik işlevi olabilir, eğer, o zaman bir takım oluşturmak için kullanabilirsiniz tüm setlerin. (Temelde John Reynolds, System-F tarzı polimorfizmin set teorik modellerinin olmadığını gösterdi.)

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

Bu nedenle, F-tarzı ölçülemezlik, setler gibi naif bir tür görüşüyle bağdaşmaz. Yazım teorisini bir kanıt asistanı olarak kullanıyorsanız, standart matematiği aracınıza kolayca taşıyabilmeniz güzeldir ve bu nedenle bu tür sistemleri uygulayan çoğu insan, imkansızlığı ortadan kaldırır. Bu şekilde her şeyin hem set-teorik hem de tip-teorik bir okuması olur ve türleri sizin için en uygun olan moda göre yorumlayabilirsiniz.

— Neel Krishnaswami
kaynak

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$