Bağımsız Kümeler İçin Mülkiyet Testi

Bir grafik ve parametreleri verildiğini varsayalım . için olup olmadığını test etmek için (veya tüm için yapılabilir ) değer aralıkları var mı? ) zamanında en az bağımsız bir boyut kümesine sahip olmaktan uzak ?$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

Eğer olağan -far (yani en fazla kenarlarının böyle bir set elde etmek için değiştirilmesi gerekir) kullanırsak, sorun . Yani$\epsilon$$\epsilon n^2$$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• O takdirde görünüyor büyüktür, bazı örnekleme fikirler sorunu çözmek için çalışmalıdır. Bu doğru mu ?$k$
• Önemsiz sonuçları olan başka -far (yani belki kenarları) kavramları var mı?$\epsilon$$\epsilon |E|$

Temelde bu noktada referanslar arıyorum.

Bu problem gerçekten incelenmiştir. Goldreich, Goldwasser ve Ron bunu grafik özellik testlerini başlatan seminal gazetelerinde incelediler ve daha sonra Feige, Langberg ve Schechtman da FOCS '02 gazetesinde "Küçük vektör kromatik sayıları ve büyük kromatik sayıları olan grafikler" üzerinde sonuçlar elde ettiler. .

Spesifik olarak, bir boyutta bağımsız dizi grafikler ayırt edebilir olduğunu göstermektedir ['02 FLS] grafiklerden çok olmaktan -far (yani, en az kenarları örneğin oluşturmak için çıkarılması gereken bağımsız bir küme) ve grafikteki rastgele köşeleri tarafından oluşturulan rastgele bir alt çizgi seçerek ve rastgele alt grafiğin bağımsız bir boyut kümesi olup olmadığını kontrol ederek veya değil. ([GGR '98] zayıf üzerine bağlanmış gösterdi arasında aynı zamanda bir alt üzerine bağlanmış göstermektedir ['02 FLS].) arasında .$\rho n$$\epsilon$$\epsilon n^2$$s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$$\rho s$$s$$\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$$s$$\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

-close'un bağımsız bir kümeye başka bir doğal tanımı, kenarlarının değiştirilmesidir. Ne yazık ki, bu tanım özellik testi ile polinom zaman çözülebilir gibi görünmüyor. Bunun nedeni, hiç kimsenin zamanından daha hızlı bir köşesi grafiğinde köşelerinin dikilmiş bir klikini (ve benzer şekilde bağımsız bir kümesini) nasıl bulacağını bilmemesidir . Ortalamadan biraz daha yoğun olan bir alt grafiğin, polinom zamanında ekilen klibi bulmak için kullanılabileceğini gösterebilir. Bu, ve arasındaki sorununuzun bu varyantı için bir polinom zaman algoritması olduğuna dair kanıttır .$\epsilon$$\epsilon k^2$$o(\sqrt{n})$$n$$n^{O(\log n)}$$k$$\log n$$\sqrt{n}$

Referans: Feige ve Krauthgamer. Semirandom grafikte büyük bir gizli klik bulmak ve onaylamak, 1999.