Kilise rakamları için bir indüksiyon prensibi beyan etmek neden imkansız

Düşünün, bağımlı olarak yazılan lambda hesabındaki doğal sayıları Kilise rakamları olarak tanımladık. Bunlar aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

Ancak, Kilise rakamlarını aşağıdaki İndüksiyon prensibi ile tanımlayamayacağımız anlaşılıyor:

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

Neden böyle? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Sorun, Nat için özyinelemeli bir tür tanımlamaktan kaynaklanıyor gibi görünüyor. Buna izin vermek için lambda hesabını değiştirmek mümkün müdür?

Sorduğunuz soru ilginç ve biliniyor. Doğal sayıların kestirimsel kodlamasını kullanıyorsunuz. Arka planı biraz açıklayayım.

tip yapıcısı verildiğinde , A - T ( A ) ' yı sağlayan "minimal" tip A ile ilgilenebiliriz . Kategori teorisi açısından T bir fonktor ve A ilk T- cebiridir. Örneğin, T ( X ) = 1 + x sonra bir doğal numaralara karşılık gelir. Eğer T ( X ) = 1 $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$$A$$A \cong T(A)$$T$$A$$T$$T(X) = 1 + X$$A$ sonra A sonlu ikili ağaçların türüdür.$T(X) = 1 + X \times X$$A$

Uzun bir geçmişi olan bir fikir ilk olmasıdır cebiri türüdür bir : = Π X : T y s e ( T ( X ) → X ) → x . (Bağımlı ürünler için Agda gösterimini kullanıyorsunuz, ancak daha geleneksel bir matematiksel gösterimi kullanıyorum.) Bu neden olmalı? Aslında, A esas olarak ilk T- cebiri için özyineleme ilkesini kodlar : herhangi bir T- cebiri Y , f : T ( Y ( $T$

$$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$$ $A$$T$$T$$Y$ , bir cebir homomorfizması alıyoruz ϕ : A → Y by ϕ ( a ) = $f : T(Y) \to Y$$\phi : A \to Y$ Bu yüzden A'nın kesin olarakzayıfolduğunu görüyoruz. İlk olması için ϕ'nin de benzersizolduğunu bilmemiz gerekir. Bu, başka varsayımlar olmadan doğru değildir, ancak detaylar teknik ve kötüdür ve bazı arka plan materyallerinin okunmasını gerektirir. Örneğin, tatmin edici bir parametrik teoremgösterebilirsek,o zaman kazanırız, ancak başka yöntemler de vardır ( A'nın tanımına masajyapmak ve K- aksiyomunu ve fonksiyon genişlemesinivarsaymak gibi). $$\phi(a) = a \, Y \, f.$$ $A$$\phi$$A$$K$

Yukarıdakileri : N a t = ∏ X : T y p e ( ( 1 + X ) → X ) → X = ∏ X : T y p e ( X × ( X → X ) ) → X = ∏ X : T y p $T(X) = 1 + X$

$$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$$

Sorunuzun teknik cevabı şudur: türün rakamlara karşılık gelmeyen egzotik elemanlar SimpleNatiçerdiği tip teorisi modelleri vardır ve dahası, bu elemanlar indüksiyon prensibini kırmaktadır. Tipi bu modellerde çok büyük ve sadece bir zayıf başlangıç cebir.SimpleNat