Bir bitişiklik matrisinin karesinden kurtarılmasının karmaşıklığı

Aşağıdaki sorunla ilgileniyorum: matrisi verildiğinde , bitişiklik matrisi o matris olan köşelerinde yönlendirilmemiş bir grafik var mı? $n\times n$ $n$

Bu sorunun hesaplama karmaşıklığı biliniyor mu?

Uyarılar:

Tabii ki, bu da matris verilen bir arama sorunu olarak ifade edilebilir için , bir yönsüz grafiğin bir bitişiklik matrisi ve problem (bir yönsüz grafiğin) bir bitişiklik matrisi için , öyle ki . $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
Motwani ve Sudan ( grafiklerin köklerini hesaplamak zordur , 1994) ve Kutz ( Boolean matris kök hesaplamasının karmaşıklığı , 2004) buna benzer ama farklı problemleri NP-zor gösteriyor - sadece Boole matrisi altındaki bitişik matrislerin karesini düşünüyorlar çarpma işlemi.

cc.complexity-theory graph-theory

— Ben Balık
kaynak

Sorun, verilen çiftli iç ürünlerle vektörlerinin varlığına karar vermekle eşdeğerdir .

n

$n$

— Muhammed Al-Türkistan

Çok yakın bir zamanda, bitişiklik matrisleri yerine stokastik matrisler için bu soruyu ele alan bir makale vardı ( arxiv.org/abs/1411.7380 ). Bu bağlamda bir kare olma özelliği bölünebilirlik olarak bilinir ve bahsettiğim makalede NP-tam olduğu gösterilmiştir.

— M Ozris Ozols

@ Muhammed-Türkistan nasıl denktirler? OP probleminin çözümü, jenerik vektörlerden daha fazla yapı gerektirir (tamsayı değerli, belirli indeksler sıfır olmalıdır, vb.).

— Jeremy Kun

Bu, bir derece dizisinin grafik olup olmadığını kontrol etmekle ilgili olmalıdır. Uyarı bu

diyagonal derecesi dizisini temsil eder ve

köşe ortak komşu sayısını

. Bu nedenle, grafik derecesi dizisi problemine bir kısıtlamadır. Gerçi nasıl çözüleceği hakkında bir fikrim yok.

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— SamiD

Yanıtlar:

İki taraflı grafiklerin kareler (Bkz polinom zamanda kabul edilebilir olduğu bilinmektedir Bu ). Genel olarak, altta yatan grafiğin çevresine bağlı olarak bu sorunun karmaşıklığının bir karakterizasyonu vardır .

Son zamanlarda bir optimizasyon orada varyantı test etmek istediğinizde bir grafiktir en (sırasıyla en az) bir kare kökü olup olmadığını sorun için FPT algoritmaları verir çalışılan, tamsayıdır verilen bazı kenarlar . $s$ $s$

— Nikhil
kaynak

Yanıt için teşekkürler, ancak bahsettiğiniz sonuçlar bu sorunla ilgili değildir - Motwani ve Sudan'ın makalesinde olduğu gibi, verilen matrisin bir bitişiklik matrisi olduğunu ve hedefin bitişiklik matrisinin altında karesi olan başka bir grafik bulmak olduğunu varsayarlar. Boole matrisi çarpımı verilen matristir. Oysa bu problemde Boolean değil, tamsayı matris çarpımıdır. Başka bir deyişle, bu sorun terimi kullandıkları için grafiğin karekökü ile ilgili değildir.

— Ben Fish

@BenFish Hata. Sorunuzu yanlış anladınız. Tamsayı matrisleri için, sadece matrisin kare köküne yaklaşmaktan daha iyi bir yol görmüyorum, ancak bunu ağırlıklı bir grafiğin kare kökü olarak hesaplamakla ilgilendiğinizi varsayıyorum (ve bunu nasıl yapacağım hakkında hiçbir fikrim yok)

— Nikhil

@Nikhil bir matrisin kare kökü benzersiz değildir, bu yüzden bunu yapmak sorunu çözmez

— Lev Reyzin

@LevReyzin Doğru. Genel olarak, tekliğin matris spektrumundan karakterize edilebileceğini düşünüyorum (belki de gerekli ve yeterli bir koşul sağlamazlar). Stokastik matrisler için bilinen bazı ilginç sonuçlar vardır - Bkz. Eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

Altta yatan grafik seyrek, rastgele bir grafikse, polinom zamanında “grafik karekök” problemi çözülebilir; bu ağırlıklı grafikler için de geçerlidir. Bu fikri kullanan makalelere örnek olarak Sosyal Ağlarda Çakışan Topluluklar Bulmak ve Bazı Derin Temsilleri Öğrenmek İçin Sağlanan Sınırlar Bulunmaktadır . Grafik küp kökleri, dördüncü kökler vb. İçin benzer algoritmalar hakkında herhangi bir fikir?

— Pratik
kaynak