Kolmogorov karmaşıklığının kanıtı indirimler kullanılarak hesaplanamaz

Kolmogorov'un karmaşıklığının başka bir hesaplanamayan sorundan kaynaklanan bir azalma kullanılarak hesaplanamayacağına dair bir kanıt arıyorum. Ortak kanıt, Berry'nin paradoksunun bir indirimden ziyade resmileştirilmesidir, ancak Durma Sorunu veya Post'un Yazışma Sorunu gibi bir şeyden azalarak bir kanıt olmalıdır.

İki farklı ispat bulabilirsiniz:

Gregory J. Chaitin, Asat Arslanov, Cristian Calude: Program Boyutu Karmaşıklığı Duruş Problemini hesaplar. EATCS 57 Bülteni (1995)

In Li Ming, Vitányi Paul MB; Kolmogorov Karmaşıklığına ve Uygulamalarına Giriş bir alıştırma olarak sunulmaktadır (kişisel bir iletişimde W.Gararch tarafından P.Garcs'a aktarılan bir ipucu ile 13 Şubat 1992).

** Blogumda genişletilmiş bir sürümünü yayınlamaya karar verdim .

Düşünmesi eğlenceli bir soruydu. Diğer cevapta ve aşağıdaki yorumlarda açıklandığı gibi, Durdurma probleminden Kolmogorov karmaşıklığının hesaplanmasına Turing azalması vardır, ancak özellikle böyle bir çok azaltma yoktur, en azından bir 'Kolmogorov karmaşıklığının hesaplanması' tanımı için.

Ne hakkında konuştuğumuzu resmi olarak tanımlayalım. İzin Vermek$HALT$"Kendilerini girdi olarak tanımladıklarında duran standart TM'lerin standart dilini belirtir. İzin Vermek$KO$ anlamında olabildikleri $\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$.

Varsayalım $HALT \le KO$bir çok azaltmayla. İzin Vermek$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$bu azalmanın hesapladığı işlevi belirtir. Görüntüsünü düşünün$HALT$ altında $f$belirteceğim $f(HALT)$.

Not $f(HALT)$ formun dizelerinden oluşur $\langle x,k\rangle$ nerede $x$ Kolmogorov karmaşıklığı tam olarak $k$. İddia ediyorum ki$k$meydana gelen $f(HALT)$ sınırsızdır, çünkü Kolmogorov karmaşıklığı ile tam olarak sınırlı sayıda dizge vardır $k$, ve $f(HALT)$ sonsuzdur.

Dan beri $HALT$ özyinelemeli olarak numaralandırılabilir (diğer bir deyişle Turing tarafından tanınan bazı kitaplar) $f(HALT)$özyinelemeli olarak numaralandırılabilir. Gerçek şu ki$k$sınırsız, numaralandırabiliriz $f(HALT)$ biraz bulana kadar $\langle x,k\rangle$ ile $k$istediğimiz kadar büyük; yani bir TM var$M$ girişte $k$ bazı eleman çıktıları $\langle x,k \rangle \in f(HALT)$.

Yeni bir TM yazın $M'$ şunları yapar: ilk olarak, hesapla $|M'|$Kleene'in özyineleme teoremini kullanarak. Sorgu$M$ girdi ile $|M'|+1$ almak $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$. Çıktı$x$.

Açıkça çıktı $x$ nın-nin $M'$ en fazla Kolmogorov karmaşıklığına sahip bir dizedir $|M'|$ fakat $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$ ki bu bir çelişki.

Ben de "Kolmogorov karmaşıklığı tam olarak sorunun yerine kullanabilirsiniz inanıyorum $k$"ile" en azından Kolmogorov karmaşıklığı $k$"küçük değişikliklerle.