Tutarlı ve Turing tamamlanmış bir lambda hesabı var mı?

Curry-Howard yazışmaları altındaki karşılık gelen mantığın tutarlı olduğu ve her hesaplanabilir fonksiyon için yazılabilir lambda ifadelerinin bulunduğu, yazılı bir lambda hesabı var mı?

Bu kuşkusuz, "daktilo edilmiş lambda hesabı" nın kesin bir tanımı olmayan kesin olmayan bir sorudur. Temel olarak (a) bunun bilinen örnekleri veya (b) bu alandaki bir şey için bilinen imkansızlık kanıtları olup olmadığını merak ediyorum.

Düzenleme: @cody aşağıdaki cevabında bu sorunun kesin bir versiyonunu veriyor: tutarlı ve Turing (aşağıda bir anlamda tanımlanmış) olan bir mantıksal saf tip sistemi (LPTS) var mı?

— Morgan Thomas
kaynak

Toplam olarak özyinelemeli özyinelemeli işlevlerin tümü özyinelemeli işlevler olan özyinelemeli aksiyomatize edilebilir hesap (lambda veya başka türlü) yoktur, bu nedenle hesabınızın sonlandırıcı olmayan terimleri içermesi gerekir.

— Emil Jeřábek

Bu cevap size olamaz diyen bir teoremi vardır herhangi hem Turing-tamamlandığında hesap çeşit ve toplam.

— Andrej Bauer

Sorunuzu yeterince kesin hale getirdikten sonra büyük olasılıkla sorunuza cevap verecektir. Sanırım Andrej'in kanıtı gereksiz derecede karmaşık (ama daha fazlasını gösteriyor): mesele, tüm özyinelemeli fonksiyonların, bir ifadenin sözdizimsel bir ifadenin özyinelemeli işlev (örneğin, sisteme doğru yazıldığını kontrol ederek), o zaman imkansız olan evrensel bir toplam özyinelemeli işlev elde edersiniz.

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor

Elbette bu tür bir soruya klasik bir cevap şunlar olabilir: kesişme tipleriyle

calculus , çünkü kuvvetle normalleşen her (ve sadece) terimleri yazmaktadır . Analizin bir "Curry-Howard yorumunu" kabul edip etmediğini sormak felsefi bir sorudur.

λ

$\lambda$

— cody

Burada daha kesin olmak zor, çünkü soru kesin değil.

— Andrej Bauer

Yanıtlar:

Pekala, ona bir çatlak vereceğim: Genel olarak belirli bir tip sistemi için aşağıdakiler doğrudur: $T$

Eğer calculustan tüm iyi tipi terimler normalizasyon, o zaman ise tutarlı bir mantık olarak bakıldığında. $T$ $T$

Kanıt genellikle tipi terimine sahip olduğunuzu varsayarak , normal bir form elde etmek için özne küçültme kullanarak ve daha sonra bir çelişki elde etmek için böyle bir terimin yapısında indüksiyon yoluyla ilerleyerek devam eder. $\mathrm{absurd}$ $\mathrm{False}$

Sohbetin tutup tutmadığını merak etmek doğaldır, yani

Her türlü sistem için ise, ise mantıksal olarak tutarlı , daha sonra her iyi daktilo terim normale olduğunu. $T$ $T$ $T$

Buradaki sorun, "tip sistem" hakkında gerçek bir genel kavramın olmaması ve bu tür sistemler için mantıksal tutarlılığın anlamı konusunda daha az mutabakat olması. Ancak, deneysel olarak

İçin en bilinen tip sistemlerin mantıksal yorumunu var, tersi aslında tutun gelmez.

Bu Turing Tamlığına nasıl bağlanır? Birincisi, eğer tip kontrolü karar verilebilirse , Andrej'in argümanı aşağıdakilerden birinin tutulması gerektiğini gösterir :

Tüm iyi yazılmış programlar kümesi değil Turing Complete .
Sonlandırılmayan iyi yazılmış bir program var.

Bu, aşağıdakileri önerme eğilimindedir:

Mantıksal bir yorumu olan ve tutarlı ve yinelemeli olarak numaralandırılabilen tip sistemleri Turing Complete değildir .

Bir öneri yerine gerçek bir teorem vermek, tip sistemleri ve mantıksal yorum kavramlarını matematiksel olarak kesin kılmayı gerektirir.

Şimdi iki yorum akla geliyor:

Bir yoktur undecidable tip sistemi, kavşak tür sistemi mantıksal yorumladığı ve her normale temsil edebilir uzun dönem. Bahsettiğiniz gibi, bu, Turing Complete ile tam olarak aynı değildir, çünkü toplam bir işlevin türünün, istenen bağımsız değişkene uygulanmadan önce güncellenmesi (aslında rafine edilmesi) gerekebilir. Matematik bir "köri tarzı" matematik ve STLC + eşittir $\lambda$ ve
$\frac{Γ ⊢ M : τ Γ ⊢ M : σ}{Γ ⊢ M : τ \cap σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\quad \Gamma\vdash M:\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}$ "Yorum" tutarlı bir mantıksal yoruma yol açtığıaçıktır. $\frac{Γ ⊢ M : τ \cap σ}{Γ ⊢ M : τ} \frac{Γ ⊢ M : τ \cap σ}{Γ ⊢ M : σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau}\quad \frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\sigma}$ $\cap=\wedge$
Böyle bir sorunun kesinleştirilebileceği bir tür tip sistemler, Saf Tip Sistemler vardır . Ancak bu çerçevede, mantıksal yorum daha az açıktır. Birisi şöyle demeye cazip gelebilir: "bir PTS, yerleşik olmayan bir tipe sahipse tutarlıdır". Ancak bu işe yaramıyor çünkü türler, bazıları tutarlı ve bazıları olmayabilir farklı "evrenlerde" yaşayabilir. Coquand ve Herbelin , sorunun mantıklı olduğu ve gösterdiği Mantıksal Saf Tip Sistemler kavramını tanımlar

Tutarsız, bağımlı olmayan her LPTS'nin bir döngü birleştiricisi vardır (ve Turing Complete de)

Bu durumda soruyu bir yönde (tutarsız TC) cevaplar . Bildiğim kadarıyla, genel LPTS sorunu hala açık ve oldukça zor. $\Rightarrow$

Düzenle: Coquand-Herbelin sonucunun tersi düşündüğüm kadar kolay değil! İşte şimdiye kadar bulduğum şey.

Bir mantıksal Saf tip sistemi (en azından) ile, bir PTS tür bir ve (en azından), belit (en azından) ve kural , ayrıca tipi yok $\mathrm{Prop}$ $\mathrm{Type}$ $\mathrm{Prop}:\mathrm{Type}$ $(\mathrm{Prop},\mathrm{Prop},\mathrm{Prop})$ $\mathrm{Prop}$ .

Bir LPTS düzeltmek: Şimdi Turing Bütünlük belirli bir bildiri kabul edeceğim ve izin bağlam olmak $L$ $\Gamma$

Γ = n a t : P r o p, 0 : n a t, S : n a t \to n a t

$\Gamma = \mathrm{nat}:\mathrm{Prop},\ 0:\mathrm{nat},\ S:\mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

olduğuKomple Turingher toplam hesaplanabilir fonksiyon için IFF $L$ bir terim olduğu öyle ki ve her durum için $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $t_f$

Γ ⊢ t_{f} : n a t \to n a t

$\Gamma \vdash t_f : \mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

n \in N

$n\in\mathbb{N}$

t_{f} (S^{n} 0) \to_{β}^{*} S^{f (n)} 0

$t_f\ (S^n\ 0)\rightarrow^*_{\beta} S^{f(n)}\ 0$

Şimdi Andrej en kösegenlestirilmesi argümanı gösterileri olmayan sonlandırma olduğunu Çeşidi . $t$ $\mathrm{nat}$

$\Gamma \vdash \mathrm{loop}:\mathrm{nat}$ $\mathrm{nat}$ $A$ $0$ $S$ $\Gamma$ $A$ $A:\mathrm{Prop}$

$S$ $0$

— cody
kaynak

λ x . x x

$\lambda x. xx$

Şimdi konuşmanızla ilgili bir soru (2). Bana teklif ettiğiniz teorem ilgimizi çekmiyor gibi görünüyor. Bağımlı olmayan her LPTS için tutarsızsa Turing tamamlandı diyor. Ancak her LPTS için, Turing tamamlanmışsa tutarsız olup olmadığını bilmek isteriz. Burada bir şeyleri yanlış mı anlıyorum?

— Morgan Thomas

Γ, t, A

$\Gamma, t, A$

Γ ⊢ t : A

$\Gamma\vdash t:A$

İkinci nokta: birisinin iyi yazılmış bir toplam olmayan bir fonksiyona sahip olabileceğinden de haklısınız (ancak belirli bir argümana mutlaka uygulanmayabilir). Cevabı değiştireceğim.

— cody

Üçüncü nokta. Yine haklısın! Ancak bunun tersi (özel LPTS durumunda) oldukça önemsizdir. Tartışmayı özetleyeceğim.

— cody

$\beta$

$\lambda$ $\text{nat}, 0, S$

⊢ nat : *

$\vdash \text{nat} : \ast$

⊢ 0 : nat

$\vdash 0 : \text{nat}$

⊢ S : nat \to nat

$\vdash S : \text{nat} \to \text{nat}$

$e$ $f_e$ $f_e : \text{nat} \to \text{nat}$ $e,x \in \mathbb{N}$ $\beta$

f_{e} (x) \to_{β} Φ_{e} (x),

$f_e(x) \to_\beta \Phi_e(x),$

$\Phi_e(x)$ $e$ $x$ $\Phi_e(x)$ $\beta$ $\beta$

Şimdi, bu teori açıkça kaba kuvvetle kabaca @ cody'nin anlamıyla tamamlanıyor; ancak iddia aynı zamanda tutarlı olması. Bir model oluşturalım.

$U_1 \in U_2 \in U_3$

$\emptyset, \mathbb{N}, 0, S \in U_1$ $S$
$a \in b \in U_i$ $a \in U_i$
$A, B \in U_i$ $B^A \in U_i$
$A \in U_i$ $f : A \to U_i$ $\prod_{a \in A} f(a) \in U_i$

$U_i$

$v$ $U_2$ $v$ $I_v$

$I_v(x) = v(x)$ $x$
$I_v(\ast) = U_1, I_v(\Box) = U_2$
$I_v(\text{nat}) = \mathbb{N}, I_v(0) = 0, I_v(S) = S$
$I_v(f_e) = \Phi_e$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $e$
, eğer $I_v(AB) = I_v(A)(I_v(B))$ $I_v(A)$ $I_v(B)$ $I_v(AB) = 0$
$I_v(\lambda x : A. B)$ $a \in I_v(A)$ $I_{v[x:=a]}(B)$
$I_v(\Pi x : A. B) = \prod_{a \in I_v(A)} I_{v[x:=a]}(B)$

Tüm , terimleri için $A$ $I_v(A) \in U_3$ $v$ $A : B$ $v \models A : B$ $I_v(A) \in I_v(B)$ $\Gamma \models A : B$ $v$ $v \models x : C$ $(x : C) \in \Gamma$ $v \models A : B$ .

olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. $\Gamma \vdash A : B$ $\Gamma \models A : B$ $x,y$ $y : \ast \models x : y$ $y$ $\emptyset$ sistem tutarlı olacak şekilde,.

$\beta$

— Morgan Thomas
kaynak

Bu güzel bir cevap, ancak tutarlılığı kanıtlamak için tüm bu jimnastiklerden geçmeniz gerektiğinden emin değilim: boş bağlamda

tipi bir terim CoC'deki bir terime "şekersizleştirilebilir": call

kuralları -rules tüm yapabileceği bu yüzden sadece, zemin şartlarda faaliyet -rules

A

$A$

f_{e} (x) \to Φ_{e} (x)

$f_e(x)\rightarrow \Phi_e(x)$ $\iota$

β

$\beta$

β

$\beta$

f_{e} (x)

$f_e(x)$

ι

$\iota$

β

$\beta$

Bence sen haklısın. Bu benim alanım değil, bu yüzden bir şeyler yaparken biraz sakarım. :-) Kanıtınızın işe yaradığını düşünüyorum ve ilginç bir sonuç, eğer haklıysam, bu teorinin çok fazla tutarlılık gücü olmamasıdır. Potansiyel olarak çok güçlü bir teoriye benziyor, çünkü set teorisini yorumlamanıza izin verecek türleri ve doğal sayıları var; ama görünüşe göre yapamazsınız, çünkü güçlü set teorisi kullanmadan tutarlılığını kanıtlayabilirsiniz!

— Morgan Thomas