Kolmogorov karmaşıklığını çıkartamaz mıyız?

Bize Turing makineleri ve evrensel Turing makinesinin bir ön ek içermeyen kodlama düzeltmek izin $U$ girişte söz $(T,x)$ (önek içermeyen kodu olarak kodlanmış $T$ , ardından $x$ ne olursa olsun, çıkışlar) $T$ girişi çıkış $x$ muhtemelen ( ikisi de sonsuza dek koşuyor). Kolmogorov karmaşıklığı tanımlar $x$ , $K(x)$ , en kısa programı uzunluğu olarak $p$ , öyle ki $U(p)=x$ .

$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

Koşullar gerekli çünkü

(a) eğerO zaman çıkış gelen trivially farklı bir sayı kolay olacağını K (x) bu daha büyük olduğu için x | | + c_U ,$T(x)\not \le |x|$$K(x)$$|x|+c_U$

(b) $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ izin verilirse, hemen hemen tüm sayılar için "şans eseri" tahmin ederek hemen hemen tüm sayılar için $0$ (veya başka bir sabit) çıktı verebiliriz. $0$ (başka bir sabite göre) değerlendiren ve orada başka bir şey çıkaran (son derece birçok sayı) . X = 2 ^ n için 2 \ log n gibi bir şey çıkararak \ limsup_ {| x | \ rightarrow \ infty} T (x) = \ infty bile garanti edebiliriz .$\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$$2\log n$$x=2^n$

Ayrıca, eğer $T(x)$ in varsayımsal olmadığını biliyorsak , ancak bunun hakkında çok az şey biliniyor olsaydık, işimizin kolay olacağını unutmayın , bu yüzden cevabım U’ya bağlı olabilir $U$, sanırım.

Genel olarak ilişkilerin çok çalışıldığını biliyorum ama

Hiç kimse amacımız yok bir algoritma vermektir benzer bir soru sordu Has değil çıktı bazı parametreler?

Benim motivasyon bu sorun http://arxiv.org/abs/1302.1109 .

Sorusu olsun veya olmasın olarak adlandırılabilecek edilebilir lim inf | x | → ∞ | T ( x ) - K ( x ) | = 0 ve Denis yorumlarda da belirtildiği gibi, bazı kodlamalar için bu yanlıştır. İşte daha zayıf bir ifade ve kodlamanın hiçbir detayına bağlı olmayan bir girişimi. Ancak basitlik için ikili bir dil kabul edeceğim:$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

Let , T : { 0 , 1 } * → N tatmin hesaplanabilir bir fonksiyon olarak 0 ≤ T ( x ) ≤ | x | ve lim inf | x | → ∞ T ( x ) = ∞ . Sonra lim inf | x | → ∞ | T ( x ) - K ( x ) | < $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$. Gayri resmi olarak, her bir dizinin sınırsız genişlikte büyüyen Kolmogorov karmaşıklığı etrafında bir hedef varsa, hiçbir hesaplanabilir işlev çarpmamaktan kaçınamaz.

Bunu görmek için, n'nin rastgele bir b- bit sayı olmasına izin verin , yani 0 ≤ n < 2 b ve K ( n ) ≥ b . Tüm b'ler için böyle bir rastgele n vardır. Ayrıca değerlerine sonsuz sayıda olduğunu unutmayın b için | { T ( x ) = b } | ≥ 2 b , bu T'ye yerleştirilen koşullardan kaynaklanır . Şimdi izin x olmak n $n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$en küçük dize, T ( x ) = b . Açık bir sabit vardır c 1 olacak şekilde K ( X ) > b - c 1 , çünkü K ( n ) ≥ b ve n hesaplanabilir x . Ve sürekli orada c 2 , öyle ki K ( X ) < b + c 2 , çünkü K ( n $T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$$K(n) \ge b$$n$$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$$K(n)$ayrıca yukarıdan sadece b den daha fazla bir sabit ile bağlanır ve x , n'den hesaplanabilir . Sonra | K ( x ) - T ( x ) | < c 1 + c 2 ve b için sonsuz sayıda seçeneğe sahibiz ( x en az 2 b olan bir kardinaliteye sahip olanlar için ), x için sonsuz sayıda değer elde ediyoruz, bu yüzden biz yaptık.$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

Bunun bir sonucu olarak, bazı c ∈ Z , T ( x ) = K ( x ) + c için sonsuz sıklıktır. Öyleyse, Kolmogorov karmaşıklığı olmayan bir şeyi çıkartamayacağımızı söyleyebiliriz!$c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

I think the following works. I'll use $C(x)$ for the Kolmogorov complexity

• Give $U$ a time bound $t$ (say, some exponential function of the length of the input program), and call the result $U^t$. If a program exceeds the timebound, $U^t$ enters an infinite loop.
• Let $C^t(x)$ be the shortest program for $x$ on $t$. Note that $C^t$ is computable.
• Let $T(x)$ return $C^t(x) + 1$, unless this value is equal to $|x|$ in which case return 0. Unless $x$ is the output of the empty program, in which case return 1.
• Since $C(x) \leq C^t(x)$, $T(x)$ will always be different from $C(x)$. The logic in the previous step takes care of the edge cases.
• $U^t$ functions as a code for all strings, so it has limit inferior infinity.