Teorik CS'de saf matematikle ilgili daha fazla konu var mı?

11

Teorik bilgisayar bilimi ve özellikle de yaklaşım algoritmaları üzerine yüksek lisans öğrencisiyim. Şimdi saf matematikle daha fazla ilgilendiğimi görüyorum (bunu söyleyebilirim çünkü matematik derslerinden CS derslerinden daha fazla keyif aldım). Teorik bilgisayar bilimlerinde oldukça saf matematik (daha kesin olmak gerekirse, CS'ye yapılan uygulamaları düşünmeden saf matematikle ilgilenen bir alan) veya büyük bir anahtar düşünün. Zaten programa iki buçuk yıl kaldım, bu yüzden bir anahtarın bu noktada iyi bir fikir olup olmayacağından emin değilim.

Bulabildiğim tek şey, en iyi konferansların kabul listelerine göz atarak küçük grafik teorisiydi. Ama bu benim için sadece odaklanabileceğim bir 'alan' sayılmaz.

reference-request soft-question

— scientificlens
kaynak

3

Bilgisayar biliminin saf matematiği içeren her alanı, bilgisayar bilimi tarafından saf matematiğe göre daha fazla motive edilecektir. Hamilton Döngülerini düşünün: tüm grafiğin köşelerini geçen döngülerle ilgilenmekten daha saf matematik ne olabilir? Eğer bunun mantıkla bağlantıları varsa, bu saf matematik açısından hala daha mükemmel değil midir? Yine de HAMCYCLE'ı düşünmektense CS'ye nasıl daha fazla yerleşmiş olabilirsiniz?

— Niel de Beaudrap

5

"Bunu söyleyebilirim çünkü matematik derslerinden daha fazla keyif aldım": Bunun, sorunuzu cevaplamak için TCS'de sizi rahatsız eden şey hakkında yeterince iyi bir fikir verdiğini düşünmüyorum. Hem TCS hem de matematik toplulukları için ilgi çekici birçok şey vardır, ancak sorulan sorular genellikle biraz farklıdır. Ayrıca grafik küçük teorinin neden odaklanabileceğiniz bir alan olmadığı açık değil mi?

— Sasho Nikolov

5

Her durumda, bazı fikirler: metrik düğünler; Sonlu abelyan grupları üzerinde Fourier analizi; Ayrık / sonlu durum uzayında Markov zincirleri.

— Sasho Nikolov

Biraz ilgili TCS temel bir rol oynamak “İlgisiz” Matematik Örnekleri?

— vzn

Geçiş riski ile ilgili olarak, belki Academia yığın Borsası daha uygun olur?

— Clément

12

Kriterlerinize uyan üç alan daha.

Kategori teorisi . Bu, çoğu saf matematik alanı için açıkça ilginç olmakla birlikte, (fonksiyonel, sıralı) programlama dilleri teorisinde de çok etkili olmuştur.
Mantık , özellikle kanıt teorisi. Bilgisayar bilimi ile bağlantıları isimlendirmek için çok fazla, ama mantık sadece saf matematiksel zengin bir alan değil, aynı zamanda matematiğin temelidir.
Sayı teorisi , "matematik kraliçesi", uygulamalardan yoksun olduğu kabul edilen ... kriptografi gelene kadar.

— Martin Berger
kaynak

not yeniden mantık bkz esp tanımlayıcı karmaşıklık teorisi (wikipedia)

— vzn

Kategori teorisinin (özellikle CS'de kullanıldığı gibi), birçok alanda temel dil olarak kullanılsa bile, araştırma seviyesindeki çoğu matematik alanı için ilginç olduğundan emin değilim. Örneğin, kategori teorisi (bazı) cebirsel geometri ve temsil teorisinde araştırma düzeyinde açıkça görünse de, bu tür bir kategori teorisi bilgisayar bilimlerinde kullanılan türden çok farklıdır.

— Joshua Grochow

1

@JoshuaGrochow Bu kısmen doğru, ama bu bazı kısımlarda çünkü devam eden bir çalışma. Daha derin entegrasyona işaret eden cezbedici ipuçları var: (1) Voevodsky'nin tek değerli temelleri, homotopi teorisindeki yol fikirlerini mantıktaki kanıtlarla birleştirmeye çalışıyor; (2) Pavlovic ve ark.'nın gerçek sayıların kömürgebra teorileri; (3) kuantum mekaniğinin kategorik temelleri, bkz. Örneğin Baez ve Stay tarafından "Fizik, Topoloji, Mantık ve Hesaplama: Bir Rosetta Taşı".

— Martin Berger

9

Evet: Grafik teorisi, hesaplamalı geometri, karmaşıklık teorisi, kombinatorik CS'de araştırdığım şeyler. Vektör uzayları ve ölçü teorisi, teorik makine öğreniminde de yararlı olabilir.

Teorik CS'de çok daha fazla saf matematik kullanılır, ancak haberleri AI ve makine öğrenimi gibi sık sık vurmazlar, bu yüzden onları çok fazla duymazsınız.

Şahsen fizik ve saf matematikten (evet, soyut cebir tipi matematik gibi) CS'ye geçtim ve ilginç problemleri bulmaktan asla vazgeçmedim.

— Keng
kaynak

1

Ve bu listeye Ayrık Geometri eklerdim.

— Sariel Har-Peled

7

Geometrik karmaşıklık teorisi son derece "matematiksel" dir ve önde gelen araştırmacılarının çoğu daha fazla matematikçidir. bkz. örneğin Geometrik Karmaşıklık Teorisi: geometrilere giriş / Landsberg
Grup teorisi , örneğin sorun, izomorfizmler ve kararsızlık gibi çalışmalarda TCS ile derin bir şekilde bağlantılıdır. bkz. örneğin GRUPLAR İÇİN SÖZCÜK SORUNU VE İZOMORFİZM SORUNU / Stillwell
bazı otomata teorileri çok matematikseldir, örneğin yarıgrupların sonlu durum transdüserlerine bağlantısı vb. bkz. örneğin Otomata Teorisinin Matematiksel Temelleri / Pim

— vzn
kaynak

2

Neden "matematiksel" alıntılar?

— Joshua Grochow

bazı alanlarda "(T) CS" içeriğini "matematiksel" den ayırmak zor olabilir, bu cümlenin sonu "önde gelen araştırmacılar bilgisayar bilimcilerinden [neredeyse] daha fazla matematikçidir” olmalıdır; iki alan yavaşça birçok şekilde harmanlanıyor, bu 20. yüzyılda görülebilir ve 21. yüzyılda devam ediyor / artıyor. devam eden bir füzyon muhtemelen bir kitabın tamamına yakışır ve bazıları yaklaşır (örn. Davis, Mantık Motorları: Matematikçiler ve Bilgisayarın Kökeni ).

— vzn

Bu konuda soru oldukça açıktı: "CS'ye başvurmayı düşünmeden saf matematikle ilgilenen bir alan." Bu, GCT'de ortaya çıkan matematiksel soruların çoğu olmasa da çoğu için kesinlikle geçerlidir.

— Joshua Grochow

heres de grup teorisi ve kelime problemlerinde benzer bir yeniden karara bağlanmaz.

— SÖZLÜK

7

$\mathbb{B}$ $\mathbb{F}_2$

Örneğin, yarıgruplar kullanılır (ayrıca gruplar da önemli bir rol oynar) ve son yıllarda sonlu yarıgruplar üzerindeki birçok sonuç başlangıçta otomata teorisi tarafından motive edilmiştir. Semirings de kullanılır (halkalar yerine): örneğin, tropikal semiring, matematikte başarılı yeni bir alan olan tropik geometride kullanılmadan önce ilk olarak otomata teorisine sokulmuştur . Otomata ile ilgili diğer konular arasında mantık ve sonlu model teorisi (Rabin'in ağaç teoremini düşünün), topoloji, ikilik ve (yarı) üniform uzaylar ve bazı sayı teorisi (özellikle sayı sistemleri ve biçimsel kuvvet serileri ile ilgili sorular için), olasılık teorisi ( özellikle Markov zincirleri) ve oyun teorisi.

— J.-E. Toplu iğne
kaynak

B

$\mathbb{B}$

B^{*}

$\mathbb{B}^*$

7

Geometrik Karmaşıklık Teorisi (GCT) hakkında biraz daha söylemek gerekirse: bu cebirsel geometri ve temsil teorisinin P'ye karşı NP'yi çözmek için uzun vadeli bir programa uygulanmasıdır. GCT'de sorulan sorular, bazıları 100 yıldan uzun süredir cebirsel geometri ve temsil teorisinin öncülerine kadar giden derin matematiksel sorular olma eğilimindedir - görünüşte hesaplama ile ilgisi yoktur, ancak GCT aracılığıyla aslında yakından ilişkili olduklarını görürler. hesaplama karmaşıklığı ile - ve diğerleri saf matematikte (yine cebirsel geometri ve temsil teorisi) yeni sorular ve fikirler ortaya koyar.

— Joshua Grochow
kaynak

4

Tamamen teorik bir CS konusu değil, ancak teorik CS'den çok sayıda sonuç kullanıyor: bir programın yapması gerekeni yapmasını sağlamak olan yazılım doğrulama ile ilgilenebilirsiniz ve başka bir şey yapamazsınız. Bu konudaki farklı teknikler arasında bazıları özellikle matematik odaklıdır. Aviyonik / mekansal / nükleer sistemlerde birçok kritik sistemin böceksiz olduklarından emin olmak için bu şekilde kanıtlanmıştır.

Birçok matematiksel alan söz konusudur: mantık, ispat teorisi, otomata teorisi, set teorisi, ...