Bir grafik, en fazla bir numaralı yürüyüşün olduğu bir yönü ne zaman kabul eder?

Aşağıdaki sorunu düşünün:

Giriş: basit (yönlendirilmemiş) bir grafik .$G=(V,E)$

Soru: her için de en fazla bir (yönlendirilmiş) - yürüyüşü olduğu özelliğini tatmin eden bir yönelim var mı ?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Bu eşdeğer olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Giriş: basit (yönlendirilmemiş) bir grafik .$G=(V,E)$

Soru: her için de en fazla bir (yönlendirilmiş) - yolu olduğu özelliğini karşılayan asiklik bir yönü var mı?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Cevabının "evet" olduğu grafik sınıfı nedir? Bu problem polinom zamanında çözülebilir mi?

Bazı gözlemler:

1. Grafik iki taraflı ise, cevap "evet" tir.
2. Grafiğin bir üçgeni varsa, cevap "hayır" dır.

İlk gözlem, kenarları bir bölümden diğerine yönlendirerek izler. İkinci gözlemin kontrolü kolaydır. Bu beni iki yanlış tahminde bulundu:

1. Eğer sadece grafik iki taraflı ise cevap "evet" tir. (karşı örnek: 5 döngü)
2. Yanıt, yalnızca grafik üçgen içermiyorsa "evet" tir (karşı örnek: 5 döngülü kenarın kartezyen ürünü)

Hepsi-eşit olmayan-3SAT'den bir azalma ile NP-tamamlandı. Bunu görmek için şunu gözlemleyin:

• Bir geçerli tek yön $4$-çevrim, kenarların dönüşümlü olarak değiştiği bir yer.
• İzin Vermek $P$ üç kenarlı yönlendirilmemiş bir yol olabilir ve uç noktalarına bitişik iki derece köşe $P$ oluşturmak $5$-döngü. Sonra sadece yönelimleri$P$ tümünün geçerli yönelimlerine kadar genişletilebilen $5$-bisiklet $P$ tutarlı bir şekilde yönlendirilmiş bir yol olarak yönlendirilmez.

Bir değişken için değişken gadget oluşturuyoruz $v$ o ait $k$ NAE-3SAT örneğinin farklı cümleleri, birbirine yapıştırarak $k$ paylaşılan $4$-paylaşılan bir kenarda döngü. Sonra her birinde$4$döngüler, paylaşılan kenara karşı kenar, diğer tüm kenarlarla tutarlı bir şekilde yönlendirilmelidir. $4$-cycles. Değişkenin gerçek değerini bu kenarların bu tutarlı yönelimi ile ilişkilendireceğiz. Ayrıca, bunların her birinin geçerli herhangi bir yönünde$4$-döngüleri, birinden yol yok $4$-başka bir bisiklet $4$-biçim, böylece bu gadget'lar birbirleriyle daha uzun yolların varlığında değil, yalnızca kenarlarının yönünde etkileşebilirler.

NAE-3SAT örneğinin 3 değişkenli yan tümcesi için bir yan tümce aracını, $4$- uygun üç değişkenli aracın paylaşılan kenarlarının karşısında, 3 kenarlı bir yola bisiklet kenarları $P$ ve sonra tamamlamak için bir derece iki köşe noktası ekleyin $P$ içine $5$-döngü. Yukarıda tartışıldığı gibi, bu$5$-sadece üç kenarı yönlendirilmiş bir yol olarak yönlendirilmemişse ve sadece (doğru yapıştırıldığında) sadece bu yönelimlerle ilişkili gerçek değerlerin eşit olmadığı durumlarda doğruysa sürekli olarak yönlendirilebilir.

Bu arada, en fazla bir tanesiyle DAGS $s$-$t$ her biri için yürü $s$-$t$çifti daha önce "çoklu ağaçlar", "güçlü bir şekilde açık olmayan grafikler" veya "mangrovlar" olarak çalışılmış; bkz. https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree