RAM ve Turing makinesi karmaşıklığı arasında büyük boşluklar

Sadece P'deki problemleri göz önüne alırsak, bilinen en hızlı kelime-RAM algoritması ile belirli sorunlar için bilinen en hızlı Turing makinesi algoritması arasında büyük boşluklar var mı? Özellikle genel çıkarları olan doğal sorunlar için geniş boşluklar varsa ilgileniyorum.

Bir RAM makinesinde zamanında hesaplayabileceğiniz herhangi bir sorunun olduğu bilinmektedir. $T(n)$, bir Turing Makinesinde en fazla zamanda yapabilirsiniz $T(n)^2$. Kullanılan belleğin toplam boyutunun$T(n)$, çünkü bu daha fazla yazma işlemi yaptığınız anlamına gelir. $T(n)$, yani RAM belleğinden her şey aldığınızda Turing makinesi en kötü durumda $T(n)$istenen elemanı banttan sırayla bulma zamanı. Bellek erişiminin yanı sıra, geri kalan işlemler de aynı zamana sahip olmalıdır. Ve böylece sınırı elde edersiniz.

Aşağıdaki örnek bir algoritmanın $A$ bu alır $O(n\log(n))$ kelime-Ram bir sorunu çözmek için gerekebilir $O(n^2 \log(n)^3)$ile gösterilen tüm hesaplamaları tam olarak gerçekleştiren 1 bantlı Turing Makinesi (TM) üzerinde$A$. Sorunun 1 bant TM ile ilgili olduğunu anlıyorum ve bunu sadece cevabımda kullanıyorum. Bu, Emil Jeřábek'in sözlerini ele alan bir düzenlemedir.

Aşağıdaki genel sonucu bulacağız . TM'nin çözebileceğini kanıtlamak için$O(T(n)^2)$ çözülmüş bir problem $O(T(n))$ bir algoritma ile $A$RAM üzerinde, öyle değil yeterli çalışma$A$TM. Bir akıllı algoritma gerekebilir. Aynı şey, bir kişinin$O(n\log(n))$havai. Gerektiğinde akıllı bir algoritmanın varlığını kanıtlamak, en azından, hemen olmaktan çok uzak görünüyor. Bu, temelde yalnızca TM'nin tüm RAM hesaplamalarını (algoritmanın simülasyonunu) simüle etmeyi / yürütmeyi öneren diğer yanıtlarla uyumlu değildir .$A$gibi bir TM karmaşıklığını duyurmak $O(T(n)^2)$ veya $O(T(n)n\log(n))$.

Sorun: Bize bir dizi / tablo verildi$\texttt{tab}$ ile $n=2k$ üzerinde saklanan her biri tamsayılar $\log(n)$bit. Bize ikinci bir dizi veriliyor$\texttt{d}$ ile $\log(n)$ her biri bir dizi kayıt $\log(n)$bit. Herhangi$t\in[0..\log(n)-1]$, tanımlıyoruz $X_t=1$ Eğer $\texttt{tab}[i]$ MOD $\texttt{d}[t]=\texttt{tab}[n/2+i]$ MOD $\texttt{d}[t]~\forall i\in [0..n/2-1]$. Aksi takdirde,$X_t=0$. Çıktı$\sum_{t=0}^{\log(n)-1} X_t$. Ben girdi ile bir bant olarak verildiğini düşünüyorum$n\log(n)+\log(n)\log(n)$ İkili basamaklar, Emil Jeřábek'in yorumlarını ele almak için.

Algoritma $A$RAM'de kelime boyutuna sahip bir RAM$w=\log(n)$ ihtiyaçlar $O(n\log(n)+\log(n)^2)$ = $O(n\log(n))$ikili dize giriş verilerini okumak için. Ancak verileri okuduktan sonra sadece şu kelimelerle çalışabilir:$\log(n)$boyut. Algoritma$A$ herhangi birini hesaplar $X_t$ içinde $O(n)$ her şeyden geçerek $i\in [0..n/2-1]$ve durumun test edilmesi. Ana döngü$A$olduğu İÇİN$t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$: hesaplamak $X_t$. Toplam karmaşıklık$O(n\log(n))$ (veri okuma) + $O(n\log(n))$ (hesaplamaları yapıyor), yani $A$ hepsini içinde yapabilir $O(n\log(n))$ RAM üzerinde.

Algoritma $A$1-teyp TM üzerinde: Bir-teyp TM'nin ihtiyacı olduğunu savunuyorum$O(n^2 \log(n)^2)$ sabit zaman $t$. TM açısından,$A_t$ iki ikili dizginin eşitliğini test etmeye eşdeğerdir $O(n\log(n))$. Örneğin, MOD işlemi$\texttt{tab}[i]$ MOD $\texttt{d}[t]$ bit kaldırma ile eşdeğer olabilir $0$ nın-nin $\texttt{tab}[i]$. Bu gibi durumlarda,$A_t$ uzunluklu bit dizileri üzerinde eşitlik testine eşdeğerdir $n(\log(n)-1)/2$. İki uzunluk dizesinin eşitliğinin test edilmesinin iyi bilinmektedir.$m$ gerektirir $O(m^2)$1-teyp TM üzerinde, ancak şu anda gerçekten bir referans bulamıyorum. Ancak, ps. TM yürütür ana döngüyü arasında$A$, en azından harcamak zorunda $O((n\log n)^2)$ her biri için $t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$, biten $O(n^2 \log(n)^3)$.

ps. Bit dizeleri üzerinde eşitlik testinin$m$bit olabilir değil ile tellerde palyndrome-teste göre daha hızlı olması$m$ bitler (pali sendromunun en azından $O(m^2)$süresi). Palindromu çözmek için eşitlik testi için herhangi bir TM algoritmasını değiştirebiliriz. Eşitlik testi TM'nin iki tamsayı ile başladığını varsayalım: biri başın solunda, diğeri sağda (bu TM için en basit giriş formudur). Sol konumlar üzerindeki her hareket sağ konumlar üzerinde yansıtılabilir (yansıtılabilir). Yansıtılmış bir TM üretiyoruz: ilk TM bir konumda olduğunda$-x<0$ (solda), yansıtılmış TM konumunda $x$(sağda). Eğer bir TM eşitlik testini$O(m^2)$, bu değiştirilmiş yansıtılmış TM palindromu $O(m^2)$.

Ayrıca, orada bazı eşitlik testi TM algoritmaları vardır ve hepsi ikinci dereceden zaman gerektirir, çünkü biraz zikzak gerekir, örneğin courses.cs.washington.edu/courses/cse431/14sp/scribes/ adresindeki Turing Machine Örnek 2'ye bakın . lec3.pdf