Lisans öğrencileri için sezgisel sonuçlar

İnsanların genel bir kitle konuşması için sezgilerine aykırı sonuçların örneklerini arıyorum. Uzman olmayan kişilerden "sezginiz size ne anlatıyor?" Sonuçların ifadesi cs / math lisans öğrencileri için kolayca açıklanabilir olmalıdır. Esas olarak bilgisayar bilimlerinde sonuç arıyorum.

Bölgenizdeki en mantıksız / beklenmedik sonuçlar (genel ilgi) nelerdir?

Genel bir kitle için görebilecekleri şeylere bağlı kalmalısınız . Teorikleştirmeye başlar başlamaz cep telefonlarını kurarlar.

Örnekleri tamamlamak için üzerinde çalışılabilecek bazı fikirler:

1. Sadece bir tarafı olan bir yüzey var .
2. Bir eğri tüm kareyi doldurabilir .
3. Bir daire dışında sabit genişlik eğrileri vardır .
4. Düzlemi, her kenarlık noktası üç kenarlıklı olacak şekilde üç renkle renklendirmek mümkündür .

Biraz matematiksel bilgiye güvenebilirseniz, daha fazlasını yapabilirsiniz:

1. Doğal sayılar kadar tek sayı vardır.
2. Bir yoktur sürekli ve hiçbir yerde türevlenebilir fonksiyon .
3. Bir işlevi yoktur tüm irrasyonel sayılar tüm rasyonel sayılara süreksiz ve ayırt edilebilirdir.$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. Banach-Tarski "paradoks" .

Programcılar için deneyebilirsiniz:

1. İmkansız fonksiyoneller : bir yüklemi götüren bir program var p : stream → bool, streamsonsuz ikili dizilerin veri türü olduğunu ve döner trueancak ve ancak p αolduğu trueiçin tüm akışları α(yani sayılamayacak sonsuzlukta var) ve falseaksi.

2. Hile yapmayı önleyen güvenilir bir şekilde telefonla poker oynamak mümkündür .

3. Bir grup insan, başka birinin maaşını öğrenmeden ortalama maaşlarını hesaplayabilir.

4. Aşağıdaki özelliklere sahip bir ikili ağaç$T$ oluşturan bir program vardır :

   • ağacı sonsuzdur$T$
   • sonsuz bir yol izleyen bir program yok$T$

Bir fikir, akış algoritmalarından basit bir şeydir . Muhtemelen en iyi aday çoğunluk algoritmasıdır. Diyelim ki sayıları akışı görüyorsunuz ve bir sayının yarıdan daha fazla olduğunu biliyorsunuz, ancak hangisinin olduğunu bilmiyorsunuz. Bir seferde yalnızca iki sayıyı hatırlayabiliyorsanız, çoğunluk numarasını nasıl bulabilirsiniz ? Cevap Misra-Gries algoritmasıdır.$s_1, \ldots, s_n$

Her adım adımında akıştan bir sayısı ve bir frekans sayacı . Başlangıçta akışın ilk sayısına ayarlar ve frekansını 1 olarak başlatırsınız . Daha sonra yeni bir numarası olup olmadığını kontrol . Eğer artış için , aksi azaltmak için . Eğer , ayar için ve geri . Akışın son öğesinden sonra, çoğunluk öğesi varsa, eşit olacaktırf x f s i x = s i x = s i f f + 1 f f - 1 f = 0 x s i f 1 $x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$$f$$1$$x$ .

Başka bir fikir, sıfır bilgi kanıtını gösteren iyi bilinen bir oyundur . Bence Oded Goldreich'e bağlı ve grafik izomorfizmi için sıfır bilgi kanıtına benziyor.

Cevabı kendi kendine yettirmek için oyun burada. Renk körü arkadaşınızı yeşilden kırmızı söyleyebileceğinize ikna etmek istediğinizi varsayalım. Arkadaşınızın iki deste kartı vardır ve bir destenin yeşil, diğerinin kırmızı olduğunu bilir. Onu görmeden aşağıdakileri yapar: 1/2 olasılıkla her desteden bir kart çeker, 1/4 olasılıkla sol desteden iki kart çeker ve 1/4 olasılıkla sağ desteden iki kart çeker . Sonra size kartları gösterir ve aynı renkte olup olmadıklarını sorar. Renk körü değilseniz, elbette her seferinde doğru cevap verebilirsiniz. Renk körü iseniz, olasılık 1/2 ile başarısız olacaksınız. Şimdi oyun 10 kez oynanırsa, renk körlüğü yaparken her seferinde kazanma olasılığı son derece düşüktür.

Kicker, arkadaşınız iki kart desteğinin iki farklı renk olduğunu biliyorsa, ancak hangisinin kırmızı ve hangisinin yeşil olduğunu bilmiyorsa, bunun sonunda hala bilmeyecek olmasıdır! Özet olarak:

1. İspatlarda rastgelelik için bir yer vardır.
2. Tanıdığınız birini hakkında bilgi vermeden ikna edebilirsiniz.

boyutundaki birim kürenin hacmi ilk olarak büyüdükçe büyür ( ), ancak için azalmaya başlar ve nihayetinde olarak .n 2 , π , 4 π / 3 , … n = 6 0 n → $n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

Karmaşıklık teorisinin sezgisel bir sonucu PCP teoremidir:

Gayri resmi olarak, her problemi , logaritmik rasgele bit sayısını kullanarak ve ispattan yalnızca sabit sayıda bit okuyarak ispat doğruluğunu ( üyeliğinin kanıtı) doğrulayabilen etkili bir randomize Turing makinesi olduğunu belirtir . Sabit 3 bite düşürülebilir. Bu nedenle, rastgele doğrulayıcının ilan edilen kanıttan sadece üç bit okuması gerekir.$NP$$A$$A$

CS lisans öğrencileri için mantıksız olduğu kanıtlanan bir şey, zamanında sıralanmamış bir eleman dizisinden sipariş istatistiklerini seçebilmesidir . Tüm öğrenciler öncelikle diziyi ( zamanda) sıralamaları gerektiğini düşünmektedir .$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

MdBs cevap / açısı üzerine kurulu, temelde TCS'de keşif sırasında sezgisel bir şeyin klasik bir sonucu, karar verilebilirliğin kendisinin varlığıdır . 20 fırsatta ^inci yüzyıl Hilbert, zamanın diğer önde gelen matematikçi düşünme yansıtma, matematik edilebileceği düşünüldü sistematize (biraz şimdi olduğu gibi tanımak neyi şeklinde algoritmik & biraz kavramı üzerinden) "finitizm" ( sonlu adımlar dizisi olarak bir algoritma fikrine kaba paralellik gösteren). bu hatlar boyunca ünlü açık problemler önerdi. onun (ve diğerlerinin) sezgileri bir tür muhteşem şekilde yanlış çıktı. karşı geçirmezGodels teoremi ve Turings Durma problemi . her ikisi de başlangıçta son derece soyut kavramlar / sonuçlar ve uzun, son derece teknik makaleler / zamanın sadece önde gelen matematikçileri tarafından anlaşılabilir, ancak şimdi daha basit kavramsal yapılara rafine edildi ve lisans öğrencilerine öğretildi. bunlar başlangıçta aynı fenomenin iki yönü / yüzü olarak görülmüyordu ama şimdi öyleler.

Hilberts 10. problemi de tam yüz Diophantine denklemlerinin kararsız olduğunu kanıtlamak yaklaşık bir asırdır . bu, sayı teorisinin son derece zor olduğu her zaman bilindiği anlamında mantıksızdır, ancak içindeki bazı spesifik / tanımlanabilir sorunların "çözülmesi imkansız" olabileceği kavramı , zaman zaman neredeyse bazılarına şok edici olmuştur. Moores yasası ve yine de bir anlamda hala "buna karşı güçsüz" olan devasa süper bilgisayarlar nedeniyle onlarca yıllık üstel artışlarımız olsa bile, kararsızlık matematik / TCS'de derin bir meydan okuma olmaya devam ediyor. kararsızlık sürprizinin bazı yönleri Klein tarafından Matematik, Kesinlik Kaybı kitabında bulunabilir .

Açıkça görülüyor, ancak kişisel deneyimlerden, sabit sayıda işlem kullanarak bir öğe koleksiyonunun medyanını tahmin edebileceğiniz fikri biraz şok edici. Ve bu biraz fazla teknik görünüyorsa, bunu her zaman seçim seçimleriyle ilgili bir açıklamaya dönüştürebilirsiniz (nüfus büyüklüğünden bağımsız olarak% 3 hata içeren bir örnek almak için 1300 kişiye ihtiyacınız vardır).

Bununla ilgili doğum günü paradoksu elbette.

Belki de iyi bir örnek (doğrudan hesaplama karmaşıklığı ile ilgili değil) basit hesaplama modellerinin Turing evrenselliğidir.

Örneğin, kural 110 etkili (zayıf) bir evrenseldir:

Doğru şekilde başlatılmış 0-1 (beyaz-siyah) hücrelerin (sonsuz) bir dizi verildiğinde ve basit ikame kuralları geçerlidir:

bir "çalışan bilgisayar" var! :-)

"Zayıf" ve "verimli" tanımları ve basit evrensel Turing makinelerinin diğer örnekleri için şuraya bakın: Turlough Neary, Damien Woods; Küçük üniversal Turing makinelerinin karmaşıklığı: bir anket .

Diğer bir şaşırtıcı örnek FRACTRAN "programlama dili" nin Turing bütünlüğüdür :

• "program" kesirlerin bir listesidir: ;$(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• Bir giriş verilen ilk bulmak böler yerine ve ;$n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• edilemeyene kadar önceki adımı tekrar böler .$q_i$$n$

girişinin uygun bir kodlaması ile FRACTRAN herhangi bir Turing makinesini simüle edebilir.$n$

Ayrıca döngüsel etiket sistemleri, karınca-otomata gibi diğer modelleri de kullanabilirsiniz.
Bu kadar sezgisel olmayan fikir, "hesaplama" nın hemen hemen her yerde saklanmasıdır ... Wolfram, daha iyi rakamlar ve metinlerle dolu 1192 sayfa yazdı Bu fikri Yeni Bilim Türünde ifade ediyorum (evet ... evet ... bazı eleştirel eleştirilere rağmen sonunda bunun bir kopyasını aldım :-)

Kafamın üstünden birkaç iyi aday:

• Her NFA'nın eşdeğer bir DFA'sı vardır

• Boyut sınırlı bir alan söz konusudur veya burada ve .p $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• Ortak anahtar şifrelemesi

  • Şifrelenmiş bağımsız değişkenlere sahip bir işleve çağrı yapmak ve girdileriniz hakkında bilgi vermeden istenen sonucu almak

  • RSA şifrelemesi

• Reed-Solomon kodları

• Sayılabilme

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • dilindeki öğeler kümesi sayılabilir, ancak sayılamaz (Cantor'ın köşegenleştirmesi)$\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • Cantor Teoremi:$|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• Daha felsefi bir düzeyde, Turing makinelerinin hesaplamayı doğru bir şekilde tanımlaması beni şaşırttı