Gökkuşağı üçgenlerine kenar bölme

Aşağıdaki sorunun NP zor olup olmadığını merak ediyorum.

Giriş: $G = (V,E)$ basit bir grafik ve bir renklendirme $f : E \to \{1,2,3\}$ kenarların ($f$ belirli bir özelliği doğrulamaz).

Soru: bölümlemek mümkün mü$E$ içine $|E|/3$ üçgenler, böylece her üçgen her rengin bir kenarına sahip olacak?

Ben renkler olmadan bir grafik içine "kenar bölümleme" sorunu biliyorum $K_n$, $n \geq 3$NP-zordur (bkz . Bazı Kenar Bölme Sorunlarının NP Tamamlayıcılığı ) ama bilmediğim renklerle.

Ben de gökkuşağı içine edge partitioniong için bir sonuç ilginizi çekebilir $K_c$, ile $c$sabit. Tabii ki, bu durumda sorun şöyle olur:

Giriş: $G = (V,E)$ basit bir grafik ve bir renklendirme $f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$ kenarların ($f$ belirli bir özelliği doğrulamaz).

Soru: bölümlemek mümkün mü$E$ içine $|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$öyle ki, her bir klik $K_c$ Her rengin bir kenarı var mı?

Sorudaki bağlantıyı takip ettim ve oradaki azalma aslında kenarları doğal bir renge sahip grafikler üretiyor, böylece her biri $K_n$ grafikte mevcut bir "gökkuşağı $K_n$"(her rengin tam olarak bir kenarı vardır.) Başka bir deyişle, bu kağıttaki küçültmeyi, $K_n$s problem: basitçe bu doğal renklendirme göre her kenarına bir renk atamak ve sonra grafik "gökkuşağı içine bölünebilir $K_n$s "yalnızca ve yalnızca bölümlere ayrılabiliyorsa $K_n$hiç.

Bu makaledeki indirgemenin temel yapısı aşağıdaki 3 adımla gerçekleştirilebilir:

1. Belirli bir grafiğin birçok kopyasını oluşturma $H_{n,p}$.
2. Bazı kopyalarının belirli parçalarını tanımlayın $H_{n,p}$ birbiriyle (örneğin, köşeleri / kenarları $H_{n,p}$).
3. Bazı kopyalardaki belirli köşeleri / kenarları kaldırın.

Grafik $H_{n,p}$ köşeleri gibi uzunluk kümesi vardır-$n$ vektörler modulo $p$ bileşenlerin eklendiği $0$ şık $p$. Kenarlar, yalnızca iki bileşende farklılık gösteren her iki köşeyi,$+1$ ve $-1$ bu iki bileşende.

Bu grafik için aşağıdaki renklendirmeyi öneriyorum: her kenara yönüne göre bir renk atayın. Eğer$x$ ve $y$ bitişik köşeler, o zaman $x-y$ ile bir vektör $n-2$ bileşenlere eşit $0$, bir bileşen eşittir $1$ ve bir bileşen eşittir $-1$. Başka bir deyişle, her kenar için$(x, y)$ bileşenlerinin sıfır olmadığı seçenekleri vardır. Bu seçeneklerin her birine benzersiz bir renk atarsak, tüm kenarlar için aynı yöndeki her kenarın aynı renge sahip olacağı şekilde bir renklendiririz. Hiçbir iki kenar doğrulamak için oldukça kolaydır içinde aynı yönde değildir. Bu nedenle , içindeki her , bu altındaki bir gökkuşağı .${n \choose 2}$$x-y$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$

İndirgemeyi takip ettiğimizde, bu rengi her kopyası için kullanırız . Bu nedenle, yukarıdaki listede yer alan 1. adımın sonunda , grafikteki her bir gökkuşağı .$H_{n,p}$$K_n$$K_n$

Yukarıdaki listenin 2. adımında, bazı köşeleri / kenarları birbiriyle tanımlarız. Özellikle, indirgeme her zaman başka bir ile bir . Ancak bu durumda (tüm nin bir kopyasından ), her ya kağıdın adlandırdığı "standart " nin çevirisidir ya da çevirisidir . Bu nedenle, ya birbirinin "ters " olan iki paralel veya iki . Her iki durumda da, iki boyunca tanımlanan kenarlar$K_n$$K_n$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$K_n$$K$$-K$$K_n$$K_n$$K_n$s paraleldir ve bu nedenle aynı renktedir. Örneğin, makalede Şekil 2'ye bakınız; belirlenen kenarlar her zaman paraleldir. Böylece, asla farklı renklerin iki kenarını tanımlamaya çalışmadığımız için, yukarıdaki listede 1. adımın sonundaki renklendirme doğal olarak 2. adımın sonunda bir renklendirmeye genişletilebilir. Belirli köşeleri / kenarları birlikte tanımlamak, herhangi bir yeni s, bu nedenle bu adımın sonunda her bir gökkuşağı .$K_n$$K_n$$K_n$

Son olarak, 3. adımda yeni oluşturmayan bazı köşeleri / kenarları . Böylece, istediğimiz özelliğe sahibiz: sağladığım renklendirme altında, bu indirgeme ile üretilen grafikteki her bir gökkuşağı .$K_n$$K_n$$K_n$