Polinom Hiyerarşisinin (PH) çöküşü için yeterli koşullar

Eğer doğruysa PH'nun çökmesi gerektiğine dair (iyi bilinmeyen) bazı iddialar nelerdir?

Referans (lar) ı içeren kısa bir üst düzey iddia içeren cevaplar takdir edilmektedir. Fazla şans olmadan geri aramaya çalıştım.

Polinom boyutlu bir kernelizasyonun varlığının PH'nin üçüncü seviyeye çökmesini ima ettiği (artan) sayıda parametrelenmiş karmaşıklık sonucu vardır. Merkezi teknik, önceki çalışmalara dayanarak [1] 'de verilmiştir ([1]' de referans gösterilmektedir).

Basit bir örnek olarak, -Yol sorunu En Uzun Yol sorununun parametrelenmiş sürümüdür:$k$

-Path$k$
Örneği: Bir grafik ve k tamsayısı.$G$$k$
Parametre : . Soru : G , k uzunluğunda bir yol içeriyor mu ?$k$
$G$$k$

Bu problem FPT'de (biraz pratik algoritmalarla), ancak [2] 'de polinom boyutlu bir çekirdeğe ( cinsinden ) sahipse PH'nun Σ $k$ . (Mevcut sunum tipik olarak NP⊆coNP / poli veya coNP⊆NP / poliolmadığı sürece negatif bir kernalizasyon sonucu olarak ifade edilir, bu nedenle "çok sayıda sonucu olmadığı sürece polinom çekirdeği yok" gibi bir şeyarar.)$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Referanslar

1. HL Bodlaender, BMP Jansen ve S. Kratsch, "Çapraz kompozisyona göre çekirdekleşme alt sınırları", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), s. 277-305. [arXiv sürümü]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Üyeleri, D. Hermelin, "Polinom çekirdekleri olmayan problemler hakkında", Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi, 75 (8): 423-434. 2009. [Stanford barındırılan sürüm]

İşte Polinom-hiyerarşisinin üçüncü seviyeye daldığı bir başka ilginç durum : NP-tam bir dilin rastgele bir kendi kendini azaltma (uyarlanabilir olmayan) olduğunu varsayalım, sonra polinom hiyerarşisi çöker . Referans için: Luca Trevisan'ın Notlarına bakın . (Teorem 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Bir başka ilginç durum şudur:

Biz yaklaşan biliyoruz ise B P P N P (Şimdi B P P içinde Σ P 2 yaklaşan markaları # 3 S A T içinde Σ P$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$ ).

Ayrıca By Toda teoremi, .$PH \subseteq P^{\#P}$

Bu ikisi bir araya getiren elde ederiz: yaklaşan olursa bilgisayar eşdeğerdir # 3 S A T tam olarak, daha sonra Polinom Hiyerarşi çöker.$\#3SAT$$\#3SAT$

PH'nun çöküşü, Boole hiyerarşisinin çöküşüyle ​​ima edilir . Orijinal sonuç Kadin'den kaynaklanmaktadır [1]; bunu göstermek için Chang ve Kadın [2] ile rafine edildi

Referanslar:

[1] Jim Kadin, Boole hiyerarşisi çökerse polinom zaman hiyerarşisi çöker , SIAM Bilgisayar Bilimi 17 (1988), no. 6, s. 1263–1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang ve Jim Kadin, Boole hiyerarşisi ve polinom hiyerarşisi: daha yakın bir bağlantı , SIAM Bilişim 25 Dergisi (1996), no. 2, s. 340-354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

sorunlarına benzersiz çözümler hesaplamak, P H'yi ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman ) daraltır , ancak bu ifadeyi nasıl resmileştirdiğiniz konusunda biraz dikkatli olmanız gerekir. (Örneğin, bir değil olmadığı bilinmemektedir N P = U P çöker P , H .), Aşağıdaki gibi bir biçimlendirmedir:$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

Bir var olduğunu varsayın , örneğin, her 3SAT formülü için bu cp ise, φ edilemezdir o zaman var olan bir x öyle ki ( φ , x ) ∈ L ve eğer φ karşılanabilir, daha sonra bir olduğu benzersiz x öyle ki ( φ , x ) ∈ L . Daha sonra P , H çöker.$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Başka bir formalizasyon:

ima P , H çöker.$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

PH'nun çökmediğini varsayan çok sayıda sonuç vardır. Let , yani P , H daraltmak değildir. Daha sonra bu tür sonuçlar A olarak özetlenebilir.$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$ , burada B kanıtlanmış sonuçtur.$A \implies B$

Basit bir kontraseptif ile, bu tür herhangi bir sonuç ˉ B'ye eşittir sonucu koşulsuz kabul etmezse, yani, daha sonraP, H, aynı zamanda daralmalıdır. Tarihsel olarak, bu sonuçlar iki amaca hizmet etti:$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. Bu sezgi güven artırmak için biz (olası sonuçları bir çöküş anlamına geldiği, olumlu çelişki tarafından eşdeğer olarak ya) doğru olduğuna inanıyoruz sonuçlarını ima göstererek, çökmez.$\mathbb{PH}$
2. Biri kabul ederse, doğruysa sonuçların bir web kurmak o sonucun ispatı için beklemek zorunda kalmadan, çökmez. yani koşullu sonuçlar elde etmek.$\mathbb{PH}$

Not: kağıtları varsayalım o da olağandışı değil çökmez ek olarak (genelleştirilmiş) Riemann hipotezini örneğin, diğer bazı hipotezine. Sonra, çelişkili basitçe hipotezlerden en az birinin yanlış olduğunu gösterir.$\mathbb{PH}$

İşte bazı özlü olanlar:

1. .$PSPACE \subseteq P/poly$
2. .$EXP \subseteq P/poly$
3. . $NP \subseteq P/log$