Daha derin bir yapı ortaya çıkaran kanıtlar

35

Chernoff sınırının standart kanıtı ( Randomize Algoritmalar ders kitabından) Markov eşitsizliğini ve moment üretme fonksiyonlarını kullanır, biraz Taylor genleşmesinin bir kısmı atılır. Çok zor ama biraz mekanik değildir.

Ancak, sonucu süren daha derin bir yapı ortaya çıkaran başka Chernoff sınır delilleri de var. Örneğin, bu yazıda örneklenen türde yöntemi aracılığıyla gider bir bilgi-teorik versiyonu var Impagliazzo ve Kabanets yanı sıra Sanjoy Dasgupta tarafından bu kısa yazı . Bu son kanıtlar, standart sonucun genelleştirilmesini sağlamasının yanı sıra, üs içindeki komik terimlerin nereden geldiğini açıklamaktan daha "sezgiseldir" (bu bir KL ayrışmasıdır).

Bu tür şeylerin güzel örnekleri nelerdir? Daha somut olmak için, işte kurallar:

İfade oldukça iyi bilinmelidir (bir tür yüksek lisans dersinde öğretilecek olan tür)

Ders kitaplarında veya “yaygın olarak” öğretilen standart referans materyallerinde “standart” bir kanıt bulunmalıdır.

Çok iyi bilinmeyen, yaygın olarak öğretilmeyen, daha genel bir ifadeyi kanıtlayan veya ifadeyi daha derin bir matematiksel yapıya bağlayan alternatif bir kanıt olmalıdır.

İki örnekle başlayacağım.

Bayram bağlı
- "ders kitabı" kanıtı: markov eşitsizliği, moment üreten fonksiyonlar, Taylor genişlemesi (MR)
- Yaygın olmayan ve anlayışlı kanıt: türlerin metodu, KL-diverjansı içeren kuyruk üssü
Schwartz-Zippel Lemma
- "ders kitabı" kanıtı: tek değişkenli polinom içeren temel durum. Değişken sayısındaki indüksiyon
- " Yaygın olmayan" kanıt: Dana Moshkovitz (ve Per Vognsen ) aracılığıyla geometrik tartışma

Cevap başına bir örnek lütfen.

ps İlle nadir kanıtı kastetmedim gerektiğini öğretilebilir: direkt kanıtı sıklıkla öğrenciler için daha kolaydır. Ancak “kanıtların anlamamıza yardımcı olduğunu” anlamında, bu alternatif kanıtlar çok faydalıdır.

big-list proofs

— Suresh Venkat
kaynak

23

Tam olarak aradığınız şey bu olduğundan emin değilim, çünkü ders kitaplarında "nadir" ispatları gördüm, fakat: quicksort için bağlanan O (n log n) zamanı.

"Ders Kitabı" ispatı: İstenilen çözüme ulaştığını ispat ederek, randomize bir tekrarlama ilişkisi kurar.
"Yaygın olmayan" kanıt: herhangi iki öğenin karşılaştırılma olasılığı için basit bir formül bulun (d sıralama düzenindeki sıraları arasındaki farktır, sadece 2 / (d + 1)) ve beklenti ve harmonik serinin doğrusallığını kullanın karşılaştırılacak beklenen çift sayısını hesaplamak.

Ders kitabı ispatı daha az yaratıcı fikir gerektirir, ancak nadir ispat, diğer algoritma analizlerinde, örneğin hesaplamalı geometride rastgele artımlı algoritmalar için çok yararlı olan bir teknik sunar.

— David Eppstein
kaynak

3

Bence bu işe yarıyor. güzel bir örnek. 'nadir' ispatın da ders kitaplarında olduğu konusunda haklısın ama yine de o kadar yaygın değil.

— Suresh Venkat 19:10

1

On yıldan uzun bir süredir "yaygın olmayan" kanıt olan öğrencilere öğretiyorum.

— Jeffε

Başkalarının bunun hakkında ne düşündüğünü bilmiyorum; ancak Jon Bentley, Beautiful Code metninde beklenen hızlı sıralama çalışma zamanı için çok şık bir çalışma zamanı analizi yaptı. Aynı zamanda videosuna <a href=" youtube.com/watch?v=aMnn0Jq0J-E"> burayı </ a > da erişebilirsiniz . Bunun, quicksort'un beklenen çalışma süresinin "kitabın analizi" olduğundan eminim

— Akash Kumar

19

Birini karmaşıklıktan atacağım, . Ders kitabı kanıtı Lautemann'dan kaynaklanmaktadır, sadece ifadesini yazın ve basit bir olasılıksal argümanla çalıştığını gösterin. Alışılmadık bir kanıt: Sert bir işlev ( tahmin etmek için , sertliği kontrol etmek için var) ve Nisan-Wigderson jeneratörüne takın. $\Sigma_2^p$ $\exists\forall$ $\exists$ $\forall$

— Lance Fortnow
kaynak

Buna ek olarak, Lautemann'ın kanıtı, Sipser'in Gacs'a atfedilen Sipser'in kanıtını (1983) büyük ölçüde basitleştirir.

— MS Dousti

1

"Yaygın olmayan" kanıt için bir referans var mı, yoksa folklor mu?

— MS Dousti

2

Kanıt Nisan-Wigderson gazetesinde.

— Lance Fortnow 19:10

2

Tamamen "nadir bir kanıt" dır, ancak bu kanıtdan "yeni anlayış" nedir? Lautemann'ın kanıtının daha aydınlatıcı olduğunu düşünüyorum. Burada bir şey mi eksik?

— V Vinay

13

Hepimiz biliyoruz , Bernoulli için standart sapma ile bir Gauss gibi davranmalı, , değil mi? Öyleyse bunu doğrudan Gaussyalılarla ilişkilendirerek ispatlayalım! tam sayı alarak , $\sum_i a_iX_i$ $\pm 1$ $X_i$ $\sigma = \|a\|_2$ $t \ge 2$

\begin{array}{rcl} E [{(\sum_{i} a_{i} X_{i})}^{t}] & = & \sum_{i_{1}, \dots, i_{t}} (\prod_{j = 1}^{t} a_{i_{j}}) E [\prod_{j = 1}^{t} X_{i_{j}}] \\ \leq & \sum_{i_{1}, \dots, i_{t}} (\prod_{j = 1}^{t} | a_{i_{j}} |) E [\prod_{j = 1}^{t} X_{i_{j}}] \\ = & \sum_{\begin{matrix} i_{1} < \dots < i_{m} \\ r_{1}, \dots, r_{m} \\ \sum_{j} r_{j} = t \\ \forall j r_{j} > 0 \end{matrix}} (\binom{t}{r_{1}, \dots, r_{m}}) (\prod_{j = 1}^{m} | a_{i_{j}} |^{r_{j}}) (\prod_{j = 1}^{m} E [X_{i_{j}}^{r_{j}}]) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] &=& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t a_{i_j}\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &\le& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t |a_{i_j}|\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &=& \sum_{\substack{i_1<\ldots< i_m\\ r_1,\ldots,r_m\\ \sum_j r_j = t\\ \forall j\ r_j > 0}} \binom{t}{r_1,\ldots,r_m}\left(\prod_{j=1}^m |a_{i_j}|^{r_j}\right)\left(\prod_{j=1}^m \mathbf{E}[X_{i_j}^{r_j}]\right) \end{eqnarray*}$

Şimdi sağdaki yukarıdaki toplama bakalım. Herhangi bir zirvede, bazı gariptir, beklenti , ya da hepsi , . Tüm Gaussian ile değiştirildiğini hayal edin . Öyleyse benzer bir senaryoda : garip verirdi ve hepsi bile ürünü en az yapardı . Dolayısıyla Gauss davası terimi , Bernoulli vakasına hâkim durumda. Böylece, $r_j$ $0$ $1$ $X_i$ $G_i$ $r_j$ $0$ $r_j$ $1$

E [{(\sum_{i} a_{i} X_{i})}^{t}] \leq E [{(\sum_{i} | a_{i} | G_{i})}^{t}]

$\mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] \le \mathbf{E}\left[\left(\sum_i |a_i|G_i\right)^t\right]$

Ancak, Gaussian'ın kararlılığına göre, kendisi standart sapma olan bir , bu yüzden anlarını biliyoruz! Böylece, bizim anımız (Kabaca ); Bu Khintchine eşitsizliği olarak bilinir. Sonra, $2$ $\sum_i |a_i| G_i$ $\|a\|_2$ $t$ $\|a\|_2^t \cdot t! / (2^{t/2} \cdot (t/2)!)$ $\|a\|_2^tt^{t/2}$

P r [| \sum_{i} a_{i} X_{i} | > λ] < 2^{O (t)} \cdot λ^{- t} \cdot ‖ a ‖_{2}^{t} t^{t / 2}

$\mathbf{Pr}\left[\left|\sum_i a_iX_i\right| > \lambda\right] < 2^{O(t)}\cdot \lambda^{-t}\cdot \|a\|_2^t t^{t/2}$ Ayarla yeterince büyük bir sabit için ve Gauss kuyruğunu bağladığınızda olsun . İlk önce Daniel Kane ile sohbet ederken Khintchine'ın eşitsizlik kanıtını duydum, ancak muhtemelen daha eski bir referans var. Kanıtın ayrıca arasında çeşitli kuyruk sınırları elde etmek için gereken bağımsızlık seviyesini de edin.

t = λ^{2} / (C \cdot ‖ a ‖_{2}^{2})

$t = \lambda^2 / (C\cdot \|a\|_2^2)$

C

$C$

e x p (- Ω (λ^{2} / ‖ a ‖_{2}^{2}))

$\mathrm{exp}(-\Omega(\lambda^2 / \|a\|_2^2))$

X_{i}

$X_i$

— Jelani Nelson
kaynak

6

Minc varsayılmıştı ve Brégman, satırında 1'in bulunduğu bir 0-1 matrisi ise , kalıcılığının en fazla Alon ve Spencer'ın ders kitabındaki The Probabilistic Method adlı kitapta kısa bir kanıt var , ancak tartışmalı bir şekilde "kitap" kanıtı Jaikumar Radhakrishnan'ın entropi kullanarak kanıtıdır ( J. Combin. Theory Ser. A 77 (1997), 161-164). Sonuçların ifadesinden, entropi kavramının burada yüzeyin altında olduğu hiç açık değil. $A$ $r_i$ $i$ $A$

\prod_{i} (r_{i}!)^{1 / r_{i}} .

$\prod_i (r_i!)^{1/r_i}.$

— Timothy Chow
kaynak