NP'nin İki Varyantı

NP tanımında iki varyasyon vardır. Onlar (neredeyse kesinlikle) farklı karmaşıklık sınıfları tanımlarlar, ama sorum şu: bu sınıflara uyan sorunların doğal örnekleri var mı?

(Burada doğal olarak kabul edilenler için eşiğim normalden biraz daha düşük.)

Sınıf 1 (NP'nin bir süper sınıfı): Süperpolinom ancak doğrulamak için alt-üst zaman alan polinom büyüklüğündeki tanıklarla ilgili problemler. Somutluk için diyelim ki zamanı . Bu, ancak yalnızca poli (n) belirsiz olmayan tahminler yapabilen belirsiz olmayan makineler tarafından tanınan dil sınıfına eşdeğerdir . $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Sınıf 1'de ne ne de olduğu bilinen / bilinmeyen doğal problemler var mı? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

Sınıf 1, her zamanki gibi bir dil sınıfıdır. Sınıf 2, diğer taraftan, ilişkisel sorunların bir sınıfıdır:

Sınıf 2: İkili bir ilişki R = {(x, y)} bu sınıftaysa

R'de (x, y) | y | en fazla p (| x |) şeklindedir.
Bir poli (| x |) -zaman algoritması A vardır, böylece tüm x girişleri için (x, y) R'de olacak şekilde ay varsa, o zaman (x, A (x)) R'de ve böyle bir y yoksa, A (x) reddeder.
Herhangi bir poli (| x |) -zaman algoritması B için, B (x, w) R (x, w) 'den farklı olacak şekilde sonsuz sayıda çift (x, w) vardır (burada kendi özelliğini göstermek için R kullanıyorum fonksiyonu).

Diğer bir deyişle, tüm örnekler için, bir tanığın var olup olmadığını bulmak kolaydır. Yine de tüm tanıklar kolayca doğrulanamaz.

(R sınıf 2 ise, R'nin ilk faktörüne izdüşümü basitçe P'dir. Sınıf 2'nin bir ilişkisel problemler sınıfı olduğunu söyleyerek kastediyorum.

2. sınıfta doğal ilişkisel problemler var mı?

— Joshua Grochow
kaynak

Sorudan emin değilim. Açıkçası sınıflardan birinde ama diğerinde olmayan problemler mi istiyorsunuz?

— Lev Reyzin

Hayır. Her sınıf için, sınıfa uyan ancak diğer standart karmaşıklık sınıflarına uyduğu bilinmeyen doğal problemler olup olmadığını ayrı ayrı merak ediyorum. Örneğin, sınıf 1'de NP'de bilinmeyen doğal bir sorun olup olmadığını bilmek istiyorum.

— Joshua Grochow

Sınıf 2 için koşul 2'yi yeniden yazmak istediğinizi düşünüyorum, aksi takdirde A her zaman reddedilen önemsiz bir algoritma olabilir. Aşağıdaki sözlü açıklamanız daha mantıklı görünüyor.

— Andy Drucker

Sınıf 2 için, biraz saçma bir örnek R (p, a) = {p bir tamsayı polinomudur, a p aralığındadır ve | a | = O (poli (| p |)}. R Sınıf 2'de ancak kararsız.

— Andy Drucker

Andy - neden bir yorum yerine cevap olarak göndermiyorsun?

— Joshua Grochow

Yanıtlar:

Sınıf 2 için, biraz saçma bir örnek

R (p, a) = {p, bir tamsayı polinomudur, a, p aralığındadır ve | a | = O (poli (| p |)}.

R, Sınıf 2'de bulunur ancak kararsızdır.

— Andy Drucker
kaynak

Bunun doğru olduğunu düşünmeden önce kendimi karıştırdım. R bir poli bağlı olsun ve p bir tam sayı poli olsun. Sonra sonludur; burada | p | "p", p'nin tanımının bit uzunluğunu belirtir. Bu yüzden problemin karar verilebilir olduğunu düşünüyorum, ancak bu setteki en iyi genel sınırlar (sanırım) | p | 'de üstel olduğundan hala zor görünüyor.

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

— Joshua Grochow

@Joshua: Yorumunuzu tam olarak anlamıyorum. Ama açıklığa kavuşturmalıydım, çok değişkenli bir polinom olmasını istedim . Sonra ayarı yapıp, tutup tutmadığını sormak, tamsayılarda bir çözümü olup olmadığını soruyor . Bu Hilbert'in 10. problemi ve problem çözülemez.

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

— Andy Drucker

Ah evet. Daha önce kendimi de böyle ikna ettim :). Teşekkürler.

— Joshua Grochow

Sınıf 1'deki tanık durumunu biraz açıklamanızı rica ediyorum. Co-NP'den uygun şekilde sınırlanmış herhangi bir sorun hile yapıyor gibi görünüyor, amaçladığınız şey bu mu?

$\log n$

— Magnus Wahlström
kaynak

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Soruyu buna göre güncelleyeceğim). Başka bir parametreli sorunun bir versiyonunun hile yapıp yapamayacağını merak ediyorum, ancak parametreli karmaşıklığa fazla aşina değilim.

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Muhtemelen QP'de değildir, çünkü NP'deki tüm sorunları ifade edebilir ve muhtemelen NP'de değildir çünkü ko-NTIME'deki (polilog) tüm sorunları ifade edebilir.

— Robin Kothari
kaynak

f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Evet, sanırım bu işe yarar.

— Robin Kothari