Mümkün olan en küçük üniversal birleştirici

Lambda hesabında böyle bir birleştiriciyi belirtmek için gereken soyutlamaların ve uygulamaların sayısı ile ölçülen mümkün olan en küçük evrensel birleştiriciyi arıyorum . Evrensel birleştiricilere örnekler:

boyut 23: λf.f (fS (KKKI)) K
boyut 18: λf.f (fS (KK)) K
boyut 14: λf.fKSK
boyut 12: λf.fS (λxyz.x)
boyut 11: λf.fSK

burada S = λxyz.xz (yz) arasında büyüklüğü 6 ve K = arasında λxy.x büyüklüğü 2 arasında combinators olan SK combinator hesabı . İlk 4 örnek bu makalede açıklanmaktadır .

Sorularım:

Boyutları daha küçük olan evrensel birleştiriciler var mı?
Mümkün olan en küçük evrensel birleştirici nedir?

DÜZENLEME: bakınız /math//a/180263/76284 sahiptir, λazbc.bc(a(λy.c))(olacaktır boyutu 8 SK olarak boyutlarının toplamına eşleşen). S ve K'yı bu birleştiriciden nasıl ifade edeceğini bilen var mı?

— user76284
kaynak

Belki de bu ilgi çekicidir: wolframscience.com/nksonline/page-1123a-text?firstview=1

— Andrej Bauer

Boyut tanımınız nedir? Bir işlev olarak yazabilir misiniz?

— Joshua Herman

6 + 2 = 8 <11 olduğundan, bu {S, K} 'nın toplam boyuta göre ölçülen en küçük birleştiricilerin temeli olup olmadığını merak ediyor mu?

— Noam Zeilberger

Son düzenlemeniz oldukça (kısmi) bir cevap gibi geliyor.

— Emil Jeřábek Monica

" Birleştirici " yi ne kadar kesin olarak tanımlıyorsunuz ? O formun olmak zorunda mı soyutlama-ücretsiz mi? λx*.EE

— Peter Taylor

Yanıtlar:

Belirli indirgeme özelliklerine sahip birleştiriciler bulmak her zaman zordur ve bu tür en küçük birleştiriciyi bulmak kolayca kararsız olabilir (önemsiz nedenlerden ötürü, birleştiricinin belirli bir uygulamasının durduğunu kanıtlamak kararsız olabilir).

Benzer bir lezzetin birkaç basit açık sorusu vardır, örneğin TLCA açık problemler listesinden # 4, # 6 ve # 10 sorunları .

Unutulmaması gereken bir şey, birleştiricinizin kesinlikle en az 2 bağlı değişkene sahip olması gerektiğidir, bunlardan biri çoğaltılır (herhangi bir tam birleştirici setinde olduğu gibi) ve biri silinmelidir. Bu 4 alt sınır koyar, bence (bir değişkenin 2 soyutlama ve 2 görünüm), 11'in üst sınırından çok uzak değil.

Edit: Noam'ın yorumları ve referans alt sınır 5 itin! Kanıt ayrıca ekstra değişkenin de görünmesini gerektiriyorsa, bizi 6'ya itecek olursa şaşırmam.

— cody
kaynak

Aslında, iki değişken yeterli değildir ( dl.acm.org/citation.cfm?id=2100917 , cstheory.stackexchange.com/a/36344/674 ), bu biraz daha düşük bir sınır verir (boyut 5 = 3 soyutlama ve 2 uygulama).

— Noam Zeilberger

@NoamZeilberger tamam, bu farkında olmadığım harika bir sonuç!

— cody

İlk sorunuz için bu makalenin bir demet yardımcı olabileceğine inanıyorum. Aynı zamanda bir UTM olan 6 bitlik bir birleştirici hesabı vardır. Ayrıca ne istediğinizi verilen bir element ile 7 boyutu var gibi görünüyor evrensel bir birleştirici vardır. Buna Zot diyorlar. http://arxiv.org/pdf/cs/0508056v1.pdf

Minimum bir birleştirici olduğunu söyleyip söyleyemeyeceğinizden emin değilim. Makale, en azından 6 bitten az olması gerektiğini önerecektir.

— Joshua Herman
kaynak

Zot'un birleştiricisi aslında uzunluğu 11 olan OP'de listelenen sondur: λx.xSK (ana dilleri Iota ve Jot ile paylaşılır). "6 bit birleştirici hesabı" nda (6 bit) UTM'nin boyutu; ve bu sadece bir kombine hesabı değil (ve yerleşik bir evrensel birleştiricisine sahip değil) lambda hesabının bir kodlaması gibi görünüyor.

— 2012rcampion