Bir ailenin Sperner ailesi olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı

Bir aile verilir ait alt kümelerine {1, ..., n}. Mathcal ın bir Sperner ailesi olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı üzerinde önemsiz bir alt sınır bulmak mümkün müdür ? Önemsiz alt sınır ve sıkı olmadığından şüphelenirim. $\mathcal{F}$ $m$ $\mathcal{F}$ $O(n m)$

Hatırlayın bir dizi bir Sperner aile için ise ve de ; , ve anlamına gelir . $\mathcal{S}$ $X$ $Y$ $\mathcal{S}$ $X \ne Y$ $X \nsubseteq Y$ $Y \nsubseteq X$

ds.algorithms co.combinatorics

— Anthony Leverrier
kaynak

Yani bir nm üst sınırı olup olmadığını mı soruyorsunuz ?

— Suresh Venkat

Temel olarak evet. Aslında, (en kötü durumda) karmaşıklığı O (mn) ile başarılı olabilecek herhangi bir algoritma olmadığını kanıtlamak istiyorum.

— Anthony Leverrier

Alt kümeler nasıl verilir? "Bitişiklik matrisi" veya "kenar listesi"?

— Yuval Filmus

Giriş bir bitişiklik matrisidir.

— Anthony Leverrier

Matris çarpma problemini fark etmeden çözmemizi sağladığınız için +1. :-)

— Peter Shor

Bunu matris çarpımı ile çözemez misiniz? Kümeler , , , . Matris al olduğu burada matris halinde ve 0, aksi halde, ve olmak matris halinde ve 0 ise. Şimdi, , yalnızca ve başka bir sette kümesi varsa girdisine sahiptir . $S_1$ $S_2$ $\ldots$ $S_m$ $A$ $m \times n$ $A_{ij}=1$ $j \in S_i$ $B$ $m \times n$ $B_{ij}=1$ $j \notin S_i$ $AB^T$ $0$ $\mathcal{F}$

Eğer durumunda alt sınırını kanıtlarsanız , matris çarpımı için aynı alt sınırı kanıtlamış olursunuz. Bu ünlü bir açık problem. $\Omega(n^{2+\epsilon})$ $m = \theta(n)$

Bu konuda çok düşünmedim, ancak bu özel matris çarpımı vakasının aslında genel durum kadar zor olduğunu kanıtlayabileceğiniz bir yol göremiyorum; Eğer gerçekten daha düşük bir sınırlamaya ihtiyacınız varsa, bu matris çarpım problemini çözmeden kanıtlamanız gereken tek umut gibi görünecektir.

Artı tarafta, bu sorun için alan naif algoritmadan daha iyi algoritmalar verir . $\theta(m^2n)$

— Peter Shor
kaynak