1-in-3 SAT, her değişken hem pozitif hem de negatif olsa bile NP-sert kalır mı?

Standart sorun 1-in-3 SAT (veya XSAT veya X3SAT) şudur:
Örnek : tam olarak 3 litre içeren her cümleye sahip bir CNF formülü
Soru : cümle başına tam 1 litre doğru olan tatmin edici bir atama ayarı var mı?

Sorun NP-tamamlanmış ve herhangi bir değişken ortadan kalkmasa bile zor olmaya devam etmektedir. Her bir değişkenin en az bir kez olumlu ve en az bir kez olumsuz olması gerekiyorsa, bu sorunun kolaylaştığını veya zor kalıp kaldığını merak ediyorum .

3SAT'taki olağan azalma, 1-in-3 SAT'ın zor olduğunu gösteren bir cümle yan tümcelerini , , burada her cümle için taze. Dolayısıyla, bu azalma sorumu cevaplamamda yardımcı olmaz. Ben bir cümle tam olarak 1 literal doğru ise, o zaman simetrik olmayan 2 literals yanlış olduğundan, bu değişkenin sertliğini gösteren bir gadget ile geliyor sorun yaşadım. Kolay olduğu ortaya çıkarsa, madde kümesinin bölümleri açısından düşünmek bunu yapabilir, ancak nasıl olduğunu göremiyorum. $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Dominik Peters
kaynak

2 sat'a düşürülebilir mi?

— Joshua Herman

ipucu: her var , yan tümceleri ekleyin ve diyelim ki, .

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

— Neal Young

Ha, bu işe yarıyor (elbette ayrıca ekleniyor ). Herkesin hiç bu kadar hafif tatmin edici olmayan hilesi olmadan çözebilmesi durumunda soruyu açık bırakacağım .

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

— Dominik Peters

Belki Neal Young'ın fikrine dayanarak kendi sorunuza eksiksiz bir cevap yazmanızı tavsiye edebilir miyim? (Bu arada, bunun neden "tatmin edici" olduğundan emin değilim. Bir azalma bir azalmadır.)

— DW

Bu özel durum gerçekten önem verdiğiniz bir konuysa, sorunuzu bu ekstra kısıtlamayı yansıtacak şekilde düzenlemek mantıklı olabilir?

— DW

Bir yorumda OP, fıkra başına 3 farklı değişken içeren örnekler üreten bir azalmaya ilgi duyduğunu ifade etti. İşte basit bir yaklaşım:

İndirgeme, her cümle için 3 farklı değişken içeren 1'i 3 arada SAT'dan gelir:

Her şeyden önce, giriş formülündeki tüm cümleleri çıktı formülündeki maddeler olarak ekleyin.
İkinci olarak, üç yeni , ve değişkenini ve çıktı formülüne şu üç ekleyin: , ve . $F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
Son olarak, orijinal formüldeki her bir değişkeni için , yeni bir değişkeni ekleyin ve çıktı formülüne şu iki cümleyi ekleyin: ve . $x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

Bu azalmanın istediğimizi yaptığını doğrulayalım. Aşağıdaki özellikler istediğimiz şeydir:

Her yan tümcenin her zaman üç farklı değişkeni vardır.
Her değişken bazı cümlelerde olumlu, bazı cümlelerde negatif olarak ortaya çıkar.
Giriş formülü, çıkış formülüne eşdeğerdir.

Mülkiyet 1 kontrol etmek önemsizdir. Özellik 2'yi de kontrol etmek kolaydır: , ve değişkenlerinin her biri, ikinci madde işaret noktasına eklenen maddelerde hem pozitif hem de negatif olarak gerçekleşirken, formüldeki diğer değişkenlerin her ikisi de pozitif ve negatif olarak oluşur. üçüncü madde işareti. $F_1$ $F_2$ $F_3$

Mülkiyet 3 gelince, bu daha az önemsiz ama yine de kolay. İkinci madde işaret noktasından her bir maddeyi karşılayan , ve değişkenleri için tek atamanın , üç nin tümünü yanlış yapmak olduğunu kolayca . Sonra için yanlış bir değerini alan , maddeleri ve üçüncü madde noktasındaki eklendiğinde tatmin ve yalnızca, . üzerinde başka bir kısıtlama olmadığından , bu, giriş formülü için tatmin edici bir atamanın çıkış formülü için tatmin edici bir atamaya genişletilmesinin her zaman mümkün olduğu anlamına gelir: $F_1$ $F_2$ $F_3$ $F_i$ $F_1$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$ $x' = \neg x$ $x'$ $x'$ karşılık gelen olması ve her değerinin false olarak ayarlanmasıdır . $x$ $F_i$

— Mikhail Rudoy
kaynak