Tamsayıların minkowski toplamında tanık bulma

ve alt kümeleri olsun . Minkowski toplamını bulmakla ilgileniyoruz . $A$ $B$ $\{0,\ldots,n\}$ $A+B=\{a+b~|~a\in A,b\in B\}$

$\chi_X:\{0,\ldots,2n\}\to \{0,1\}$ karakteristik bir fonksiyonudur ise $X$

χ_{X} (x) = {\begin{cases} 1 if x \in X \\ 0 otherwise \end{cases}

$\chi_X(x) = \begin{cases} 1 \text{ if } x\in X\\ 0 \text{ otherwise}\end{cases}$

Let ayrı konvolüsyon olmak ve , daha sonra , ancak ve ancak . Bu nedenle , FFT yoluyla ayrık evrişim ile zamanında hesaplanabilir . $f$ $\chi_A$ $\chi_B$ $x\in A+B$ $f(x)> 0$ $A+B$ $O(n\log n)$

Bazen gerçek çifti öğrenmek için önemlidir ve buna meblağlar . olarak adlandırılan bir tanık ait mevcut ise, , öyle ki . Bir fonksiyonu bir adlandırılır şahit fonksiyonu ise bir tanık . $a\in A$ $b\in B$ $x$ $a\in A$ $x$ $b\in B$ $a+b=x$ $w:A+B\to A$ $w(x)$ $x$

zamanında bir tanık fonksiyonunun hesaplanması mümkün müdür ? $O(n\log n)$

convolution fft

— Chao Xu
kaynak

O (n p o l y l o g n)

$O( n polylog n )$ özellikle zor değildir.

— Sariel Har-Peled

İkili aramayı kullanabilirsiniz. örneğin, bölüm

A

$A$ iki kabaca eşit büyüklükte-kümeler halinde

A_{L}, A_{R}

$A_L,A_R$ , ve işlem

A_{L} + B

$A_L+B$ ve

A_{R} + B

$A_R+B$ ; bu

hangisinde olduğunu kontrol edin

x

$x$ ; ve özyineleme. Bu size

gibi bir şey verecektir

O (n \lg^{2} n)

$O(n \lg^2 n)$ .

— DW

@DW Bu yalnızca tek bir

için tanık bulabilir , ancak

her öğe için bir tanık istiyoruz . (ifadelerim net görünmüyor, bu yüzden soruyu güncelledim)

x

$x$

A + B

$A+B$

— Chao Xu

Ama O (n polylog n) çözümü ile ilgileniyor musunuz?

— Sariel Har-Peled

@ SarielHar-Peled evet, ben de deterministik

algoritması ile ilgileniyorum .

O (n p o l y l o g n)

$O(n polylog n)$

— Chao Xu

Yanıtlar:

Burada rasgele çalışma süresinin nasıl alınacağını açıklıyorum . Bir dizi gözleme ihtiyacımız var: $O(n *\mathrm{polylog} n)$

Bir tanık bir değer arasında bir sayı çifti , öyle ki . Let ve benzer şekilde tanımlanabilir. Dikkate bu katsayısı içinde $v$ $(a,b) \in A \times B$ $a+b=v$ $P_A(x) = \sum_{i \in A} x^i$ $P_B(x)$ $x^v$ değeri için tanık sayısıdır. $P_A(x) * P_B(x)$ $v$
Varsayalım tek tanık sahiptir ve polinom dikkate . Açıktır ki, katsayısı içinde olan , ve bu şekilde artık çift biliyoruz $v$ $(a,b) \in A \times B$ $Q_A(x) = \sum_{i \in A} i*x^i$ $x^v$ $Q_A(x)*P_B(x)$ $a$ $(a,v-a)$ ve işimiz bitti.
Yani, tek bir tanığın olduğu dava ile işimiz bitti. Yani tanıklarına sahip olduğunu düşünün . Let $v$ $k$ $(a_1, b_1),\ldots, (a_k,b_k)$ . değerine dikkat edin $i(k) = \lceil{\lg \sqrt{k}}\rceil$ . Daha sonra, iziniçin,, içinher bir elemanı, bu rastgele örnek olmakiçine seçilmiş olan olasılığı ile . olasılığı $2^{i(k)-1} \leq \sqrt{k} \leq 2^{i(k)}$ $R_j = (A_j, B_j)$ $j=1,\ldots, m$ $m=O(\log n)$ $A$ $A_i$ $p = 1/2^{i(k)}$ $v$ sahip tek bir tanık olan $R_j$ , çünkü tanık ayrık sayı çifti (her çiftin toplamı). değerinden bağımsız olarakde bir sabitolduğunu doğrulamak kolaydır. Bu nedenle, yüksek bir olasılıkla, bu olmalıdırörneklerinin birinde tek bir tanık sahip. Bu haliyle, yukarıda tarif edildiği gibi bu örnekle ilişkili iki polinomun hesaplanmasıyla, $\alpha = \binom{k}{1}p^2 (1-p^2)^{k-1}$ $v$ $\alpha$ $(0,1)$ $k$ $v$ $R_1, \ldots, R_{m}$ süresi (numune başına), FFT kullanarak, buna sabit zamanda karar verebiliriz. $O(n \log n)$
Neredeyse bitti. Çözünürlükler için rasgele numune üzerinde hesaplamak . Bu tür her bir çözünürlük için rastgele örnekleri ve ilişkili polinomları hesaplayın. Ayrıca, ve için ilişkili polinomu hesaplayın . Bu ön işleme saf bir şekilde , ancak biraz daha dikkatli olmanın bir faktörünün çıkarılabilir olması gerektiğinden şüpheleniyorum . $i=1,\ldots, \lceil\lg n\rceil$ $A$ $B$ $O(n \log^3 n)$ $\log n$
Algoritma: Her değeri için , polinom danışarak kaç tanığın, yani k sabit zamana sahip olduğunu hesaplayın . Ardından, için ilgili veri yapısına gidin . Daha sonra, onu tek bir tanık olarak içeren rastgele örneği bulur ve bu tanık olan çifti sabit zamanda çıkarır. $v$ $Q_A(x)*P_B(x)$ $i(k)$
Garip bir şekilde, ön işleme süresi , ancak tanığın kendisinin bulunması için beklenen süre sadece zaman alır, çünkü kişi tanık bulur bulmaz aramayı durdurabilir. Bu, bu algoritmanın geliştirilebilir olması gerektiğini gösterir. Özellikle, için , oluşturulan polinomları çok azdır ve bir çok daha hızlı FFT yapmak mümkün olmalıdır. $O(n \log^3 n)$ $O(n)$ $i(k) \ll \lg n$

— Sariel Har-Peled
kaynak

Tamam, gerçekten Sariel'in bir cevap için kredi alması gerektiğinden uzak duruyorum, ama beklemekten yoruldum, işte benim doğrusalımdaki rasgele bir algoritmada benim kesimim.

noktalarının örneklerini seçerek , , orijinal problemdeki her bir toplamın alt problemlerden birinde benzersiz bir şekilde temsil edilme olasılığına sahip olacak şekilde logaritmik bir dizi alt sorun elde edebilirsiniz ( örneklemenin beklenen temsil sayısını yaklaşık 1'e düşürdüğü örnek). $n(1-\epsilon)^i$ $i=0,1,\dots$
Örnekleme işlemini logaritmik sayıda tekrarlayarak, tüm toplamların yüksek olasılıkla benzersiz temsiller elde etmesini sağlayabilirsiniz.
Eğer bir bölüm varsa ve iki alt-grup halinde dörde sayının çarpımı kümelerden biri numaralara 2 ekleyerek, daha sonra ve kümelerden biri numaralar 1 ekleyerek yapabilirsiniz iki alt kümeden hangilerinin geldiği ulaşılabilir toplamların mod-4 değerlerinden okur. $A$ $B$ $A$ $B$
Her adımdaki bölümleri seçmek için alt problemlerdeki değerlerin veya endekslerin ikili bitlerinin her bit konumunu kullanarak bölümleme işlemini logaritmik sayıda tekrarlayarak, benzersiz olarak temsil edilen her bir toplamın toplamlarını tanımlayabilirsiniz.

Bu çalışma süresini üç logaritmik faktörle havaya uçurur; muhtemelen bu azaltılabilir.

— David Eppstein
kaynak

Ha ha;).

— Yazmanın

Bu cevap determinstik bir algoritması verir. $O(n~\mathrm{polylog} n)$

Görünüşe göre Sariel ve David'in algoritması bu yazıda benzer bir yaklaşımla derandomize edilebilir . [2] Süreç boyunca ilerlerken bu sonucu ima eden daha genel bir sorun olduğunu gördüm.

-reconstruction sorun $k$

Orada gizli setleri , iki kahinler var ve bir sorgu kümesi almasını . $S_1,\ldots,S_n \subset \{1,\ldots,m\}$ $Size$ $Sum$ $Q$

her kavşağın boyutunudöndürür . $Size(Q)$ $(|S_1\cap Q|,|S_2\cap Q|,\ldots,|S_n\cap Q|)$

her kavşaktaki elemanların toplamınıdöndürür . $Sum(Q)$ $(\sum_{s\in S_1\cap Q} s,\sum_{s\in S_2\cap Q} s,\ldots,\sum_{s\in S_n\cap Q} s)$

-reconstruction sorun bulmak için bir sorar alt kümeleri öyle ki ve tüm . $k$ $n$ $S_1',\ldots,S_n'$ $S_i'\subset S_i$ $|S_i'|=\min(k,|S_i|)$ $i$

Izin vermek oracles çağırmak için çalışma süresi ve varsayalım , o zaman setleri deterministik zaman bulabilirsiniz. [1] $f$ $f=\Omega(m+n)$ $O(f k \log n~\mathrm{polylog}(m))$

Şimdi, tanık bulma problemini imar problemine indirgeyebiliriz. Burada burada . $1$ $S_1,\ldots,S_{2n}\subset \{1,\ldots,2n\}$ $S_i = \{a|a+b = i, a\in A, b\in B\}$

Polinomları tanımlayın , $\chi_Q(x) = \sum_{i \in Q} x^i$ $I_Q(x) = \sum_{i \in Q} i x^i$

Katsayısı içinde olduğu ve olan . Böylece, kehanetler çağrı başına zaman alır. $x^i$ $\chi_Q\chi_B(x)$ $|S_i\cap Q|$ $I_Q\chi_B(x)$ $\sum_{s\in S_i\cap Q} s$ $O(n\log n)$

Bu bize zaman deterministik algoritması verir. $O(n~\mathrm{polylog}(n))$

[1] Yonatan Aumann, Moshe Lewenstein, Noa Lewenstein, Dekel Tsur: Soyma yoluyla tanıkları bulmak . Algoritmalarda ACM İşlemleri 7 (2): 24 (2011)

[2] Noga Alon, Moni Naor: Derandomizasyon, Boole matris çarpımının tanıkları ve mükemmel hash fonksiyonlarının inşası . Algoritma 16 (4-5) (1996)

— Chao Xu
kaynak