Kalıtsal bir grafik sınıfı n-tepe grafiğinin tamamını olmasa da neredeyse tümünü içerebilir mi?

10

kalıtsal bir grafik sınıfı olsun . (Kalıtsal = kaynaklı subgraphs alarak göre kapalı). Let kümesini belirtir de -vertex grafikler . Diyelim ki Q_n içinde düşen -vertex grafiklerinin bir kısmı olarak yaklaşırsa neredeyse tüm grafikleri içerir . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Soru: Kalıtsal bir grafik sınıfı neredeyse tüm grafikleri içermesi mümkün , ancak her için olmayan en az bir grafik var mı? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
kaynak

10

Cevap hayır - bir sabit, $Q$ izin $t$ küçük grafik olarak köşe sayısı, $H$ değil $Q$ . Şimdi, düşünün $n$ çok daha büyük $t$ . $n$ köşelerinde rastgele bir grafik için , $t$ ilk köşelerin indükleme olasılığı $H$ sadece bağlıdır $t$ . İçine tepe kümesi bölünmesi, $n/t$ boyutu ayrık kümeler $t$ ve kümeler hiçbiri eşit olduğu olasılığını göz önünde bulundurarak $H$ olma olasılığı gösteriler $Q$ eğilimi $0$ olarak $n$ artar.

— Daniello
kaynak

5

Bu, daha güçlü bir aşikar olmayan kalıtsal sınıfı grafiklerin bir kısmını içeren kanıtlamaktadır büzülür

. Bölümleme ile

içine çok sayıda kenar-ayrık

'ler, aynı argümanı kullanarak gibi daha fazla bir şey bu güçlendirmek için mümkün olmalıdır

.

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago: Erdos-Hajnal varsayımındaki bilinen sonuçlardan doğrudan bir cevap çıkarılabilir [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] . Elde bağlı malı olarak (o sadece bir kısmını almak gibi görünüyor değil

.

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Louis Esperet

1

@David Eppstein: Bence

, aşağıdaki klasik sonucu tekrar tekrar (

times) uygulayarak elde ettiğiniz şeydir . Sipariş bir yansıtmalı düzlemi varsa

sonra kenar kümesi

içine bölümlenmiş olabilir

kenar-ayrık kopya

.

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

10

$C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

Kalıtsal için sınır her zaman 0 olduğundan , temel bir sorukendisi davranır. Let sayısını göstermek tamsayıdır bölümleri , . hız "atlar" ortaya çıkıyor: yapolinom olarak sınırlıdır veya başka türlü . $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks ve Vera T. Sós, Kalıtsal bir grafik özelliğinin etiketlenmemiş hızı , Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( baskı öncesi )

— András Salamon
kaynak