Grafik izomorfizmi için bir grafiğin otomorfizmlerinin sayısı

Let ve , iki olmak boyutu -Normal bağlı grafikleri . , olacak şekilde permutasyon kümesi olsun . Eğer , sonra otomorfizmaları kümesidir . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

büyüklüğünde en iyi bilinen üst sınır nedir? Belirli grafik sınıfları için herhangi bir sonuç var mı (tam / çevrim grafikleri içermiyor)? $A$

Not: Otomorfizm grubunun oluşturulması, en azından grafik izomorfizm problemini çözmek kadar (hesaplama karmaşıklığı açısından) zordur. Aslında, sadece otomorfizmaları saymak, grafik izomorfizme eşdeğer olan polinom zamanına eşittir, R. R. Mathon, "Grafik izomorfizmi sayım problemine ilişkin bir not".

— Jim
kaynak

Wormald göstermiştir ki, eğer bağlı olan arasında automorphisms sayısı daha sonra 2N noktalar ile -Ücretli grafik bölme . Özellikle bu, düzenli durum için önemsiz olmayan üstel bir üst sınır verir . Belki bu çizgide genel düzenli grafikler için sonuçlar vardır . $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

Daha düşük bir bağlanmış, formül dikkate ile olan kapılar bir ek girişler yelpaze içinde 2. Daha sonra bir resut kullanılarak kapılarında Toran bir gerçekleştirebilmesi bir -Ücretli grafik ile otomorfizm grubu olası tüm değerlendirmelerini kodlayan köşe noktaları . Bu, otomorfizmlerinin sayısının en az olduğu anlamına gelir . Bu, köşelerinin sayısının fonksiyonu olarak düzenli grafiklerin otomorfizmlerinin sayısı için üstel bir alt sınır olduğunu göstermektedir . $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
kaynak

Lütfen aşağıdaki grafiği göz önünde bulundurun: 1. normal grafiği ve normal grafiği (hiçbiri tam değil veya döngü grafiği) birbirleriyle E sayıda kenar aracılığıyla birleştirilir, diyelim ki bu birleştirilmiş grafik düzensiz bir grafik 2'dir. normal grafiği ile kenarlara sahip normal grafik. Hiçbir iki köşe yoktur ile kenarlarının aynı sayıda Normal grafikte, normal grafik. G otomorfizması üstel olabilir mi?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Jim

Evet. G2 grafiği üstel sayıda otomorfizmaya sahip olabilir. H1, 1 ... n numaralı n köşesi olan herhangi bir r1 normal grafiği olsun. H2, aşağıdaki işlemle elde edilen bir grafik olsun (3 yoruma bölünür). D elmas grafiği, yani önceden bitişik olmayan iki köşeyi birleştiren bir kenar ile birlikte 4-döngüsü olsun. Bu iki köşenin D'nin iç köşeleri olduğunu varsayalım. Diğer iki köşe, D'nin dış köşeleridir. Açıkça, hem iç köşeleri hem de dış köşelere dokunmayan bir otomorfizm vardır.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Şimdi, C1 ve C2 döngülerinin 1'den n (n + 1) / 2'ye kadar n (n + 1) / 2 köşesi ile ayrık birleşimini düşünün. Ayrıca diamod grafiğinin n (n + 1) / 2 kopyasını düşünün. Şimdi her i için, D_i'nin dış değerlerinden birini C1'in i-inci tepe noktasına ve diğer harici tepe noktasını C2'nin i-inci tepe noktasına bağlayın. Daha sonra bu işlemle elde edilen H2 grafiği 3 düzenlidir ve her D_i'nin iç köşeleri ayrı olarak değiştirilebildiğinden üstel sayıda otoorizm vardır.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Şimdi H1'in her v tepe v_j'si için, v_j'den pırlantanın iç köşelerine 2j kenarlar ekleriz, böylece bir elmas D_i'nin her iki iç köşesi de H1'deki aynı tepe noktasına bağlanır. Bu, elmasın iç köşelerinin hala değiştirilebileceğini garanti eder ve bu nedenle G2 grafiğindeki toplam otomorfizm sayısı üsteldir.

— Mateus de Oliveira Oliveira

sırası ve maksimum değerlik bağlı bir grafiğinin en fazla otomorfizm grubu olduğunu göstermek kolaydır . İkinci köşeden başlayarak, her tepe noktası daha önce gelen en az bir tepe noktasına bitişik olacak şekilde köşelerin bir sırasını bulun. ilk köşelerini sabitleyen alt grup olsun . Bu, ve ile azalan bir alt grup zinciridir . Bu yörünge-stabilizatör teoremi tarafından izlemeniz ve için .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— 17:23

Grafiklerin bağlantısının kesilmesine izin verirseniz, köşe sayısına göre iyi bir üst sınır yoktur.

İçin -Normal grafikleri ayrık birlik almak tam grafikleri . Sonra grafikte köşeleri veotomorfizmalar. $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— tori
kaynak