3'ü 1 arada SAT'da sınırlı sayıda değişken olay

1-in-3-SAT'ın karmaşıklık sınıfında sınırlı sayıda değişken olayla bilinen bir sonuç var mı?

Peter Nightingale ile aşağıdaki cimri indirgeme geldim, ancak bu biliniyorsa bir şeyden bahsetmek istiyorum.

İşte geldiğimiz hile. Bu, değişken başına 3 tekrar ile sınırlı 1-in-3-SAT'ın NP tamamlanmış ve #P tamamlandığını (1-in-3-SAT olduğu için) , 3-SAT'ın 3 tekrar ile sınırlı olduğunu gösterir.

Diyelim ki üçten fazla x örneğimiz var. 6'ya ihtiyacımız olduğunu varsayalım. Sonra, x'e eşdeğer 5 yeni değişken x2 ila x6 ve aşağıdaki 6 yeni maddeyle yanlış olduğu garanti edilen iki yeni değişken d1 ve d2'yi tanıtacağız:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Açıkçası biz ilk x sonra her x oluşumunu bazı i için xi ile değiştiriyoruz. Bu, her xi ve d'nin üç tekrarını verir.

Yukarıdaki her di'yi false değerine ve tüm xi değerlerini aynı değere ayarlar. Bunu görmek için, x doğru veya yanlış olmalıdır. Doğruysa, ilk fıkra x2 true ve d1 false değerini ayarlar ve sonra bu sınıfları aşağı doğru yayar. X false olursa, son cümle x6 false ve d2 false değerini ayarlar ve cümleleri yukarı taşır. Açıkçası ciddi bir şekilde cimri, bu nedenle saymayı korur.

Bildiğim kadarıyla mevcut "sınırlar" şu şekilde yerleşti:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: Doğrusal CNF sınıflarının XSAT ve NAE-SAT'ı. Kesikli Uygulamalı Matematik 167: 1-14 (2014)

Ayrıca bakınız Schmidt Tezi: Lineer ve karışık Horn CNF formülleri için SAT, XSAT ve NAE-SAT'ın Hesaplamalı Karmaşıklığı

Teorem 29 . XSAT, - ve - , için NP tam olarak kalır .$k$$CNF^l_+$$k$$CNF^l$$k, l \geq 3$

(XSAT for - , her değişkenin tam olarak kez göründüğü tam olarak 1-in-3-SAT'dir )$3$$CNF^3$$l=3$

Teoremin, daha güçlü monoton vakanın ( ) NP tamlığını da kanıtladığını unutmayın.$CNF_+$

(Bunun geç bir cevap olması gerektiğini anlıyorum; gelecekteki okuyucular için yazıyorum)

Literatürde daha güçlü bir sonuç var.

Kübik Düzlemsel Pozitif 1-in-3 Memnuniyetinin Moore ve Robson, Basit Fayanslarda Sert Döşeme Sorunları'nda NP-tamamlanmış olduğu kanıtlanmıştır . ('Pozitif' yerine 'monoton' derler. Sonunda eklenen nota bakın)

Bahsedilen sonuç Schmidt'in tezindeki sonuçtan daha güçlüdür, çünkü burada formülün grafiği düzlemsel olmakla sınırlıdır. (Durum aslında daha güçlüdür: düz çizgili gömme adı verilen belirli bir gömme türü sağlarlar)

$G_B$$B=(X,C)$$X\cup C$$E:= \{ x_iC_j\ :\ $$x_i$$C_j$$\}$$X$$C$

$B=(X,C)$$X$$C$$X$$G_B$$B$
$X$$C$

Her cümlenin tam olarak 3 farklı değişken içerdiğini ve her değişkenin tam olarak 3 cümleyle göründüğünü unutmayın.

Değişkenlerin sayısını kısıtlayan uydu değişkenler için Tippenhauer'ın Planar 3-SAT ve Varyantları (2016) tezine bakın .
Not: Bu tezin yayımlanmasından sonra keşfedilen birkaç varyant vardır.

Not Eklendi: Moore ve Robson'un sonucu, Kübik Düzlemsel Pozitif 1'i 3 arada Memnuniyetin NP-tamamlanmış olduğunu kanıtladı . (Yani, boole formülü sadece monoton değildir, Olumludur (yani, hiç bir olumsuz ifade yok)). Ne yazık ki, pek çok erken makalede, 'monoton' terimi 'pozitif' anlamında kullanılmıştır. Moore ve Robson'un azaltması, ihmal edilmiş değişmez değerler getirmiyor. Bunların azaltılması, Laroche'nin makalesinde Planar 'Monotone' 1-in-3 Memnuniyetinden kaynaklanmaktadır Planar 1-in-3 memnuniyeti NP-tamamlanmıştır . Bu makaleyi alamadım, ama büyük olasılıkla Laroche 'monoton' diyerek de pozitifti. Bunu kastetmemiş olsa bile, Mulzer ve Rote'den Düzlemsel Pozitif 1'e 3'ü Memnun Edilebilirliği kullanabiliriz ' bunun yerine kaynak sorunu olarak.

Cs.se içinde bir soru için bu cevaba bakınız.