Zor görevler için hesaplama yeteneği, kolay görevleri çözmede ne ölçüde yardımcı olur?

Kısacası, soru şudur: Zor görevler için hesaplama yeteneği, kolay görevleri çözmenize gerçekten ne kadar yardımcı olur. (Bu soruyu ilginç ve önemsiz hale getirmenin çeşitli yolları olabilir ve işte böyle bir girişim.)

Soru 1:

N değişkenli bir formül için SAT'ı çözmek için bir devre düşünün. (Veya kenarlı bir grafik için Hamilton döngüsünü bulmak için .) $n$

Her kapının değişkenleri üzerinde rasgele bir Boole işlevinin hesaplanmasına izin verdiğini varsayalım . Somutluk için alalım . $m$ $m=0.6 n$

Güçlü üstel zaman hipotezi (SETH), bu tür güçlü kapılarla bile süperpolinom devre boyutuna ihtiyaç duyduğumuzu iddia eder. Aslında, her için en az boyutuna ihtiyacımız varBir anlamda, çok karmaşık Boole işlevlerini (NP tamlığının çok ötesinde) temsil eden değişkenlerin fraksiyonu üzerindeki kapılar size çok fazla avantaj sağlamaz. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Ayrıca şunu da sorabiliriz:

(i) büyüklüğünde böyle bir devre alabilir miyiz ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

“Hayır” cevabı SETH'nin muazzam bir güçlendirmesi olacaktır. Elbette, basitçe özlediğim kolay bir “Evet” yanıtı var.

(ii) (i) 'nin cevabı EVET ise, rasgele Boole işlevlerini hesaplayan kapılar yapın, sadece NP işlevlerini “(”) hesaplayan (söyleyin) kapılara kıyasla bazı avantajlar sağlar; ya da sadece SAT'ın daha küçük örnekleri mi?

Bir sonraki soru girişimleri soru için benzer bir şey sormak . $P$

Soru 2:

Daha önce olduğu gibi ve somutluk için koyun . (Diğer değerleri gibi : devrelerin aşağıdaki türde göz önünde bulundurun. Aynı zamanda ilgi konusudur) $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

a) Bir adımda değişkenleri üzerinde isteğe bağlı bir Boole işlevi hesaplayabilirsiniz . $m$

b) Bir adımda değişkenli bir SAT problemini çözebilirsiniz . Ya da belki de değişkenlerindeki polinom boyutunun gelişigüzel, belirsiz bir devre . $m$ $m$

c) bir adımda keyfi bir devre gerçekleştirebilir boyutu değişken ( ) sabitlenir. $m$ $m^d$ $d$

d) Bir adımda normal Boole kapılarını gerçekleştirebilirsiniz.

kenarlı bir grafik için mükemmel bir eşleşme bulma sorusunu ele alalım . Eşleştirmenin polinom boyutlu bir devresi vardır. Soru, böyle bir eşleştirme algoritmasındaki üssün, d) tipi devrelerden c) tipi devrelere ve c) ebadındaki devrelerden b) ebadındaki devrelere ve b ebadındaki devrelere geçtiğinizde geliştirilebileceği yönündedir. ) a) büyüklükteki devrelere. $n$

(Bu, paralel hesaplama veya oracles hakkında iyi bilinen sorunlarla ilgili olabilir.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
kaynak

Aslında Güçlü ETH güçlü değil: sadece sen çalışan bir üniforma algoritması olamaz diyor

ile SAT vakti

tüm maddelerinde,

. Küçük değişkenler kümesinde keyfi Boole işlevlerine izin vermek, üniform olmayan devre alanına girmenizi sağlar. "Düzgün olmayan SETH" ilginç bir varyant ama henüz çok yakından çalışıldığını düşünmüyorum.

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— Ryan Williams

Sevgili Rayan, doğru, muntazam olmayan davayı ele almak için kendimi daha rahat hissediyorum. Soru 1'e verilecek bir cevap, tekdüze olmayan SETH'nin büyük ölçüde güçlendirilmesi olacaktır. (Düzgün olmayan SETH'nin SETH'yi güçlendirmesi olarak düşündüm, ama belki de yanılmışım.) Muhtemelen Tekdüzen algoritmalar için Soru 1 ve 2'yi yeniden formüle edebilirsiniz. Her halükarda SETH ve üniform olmayan SETH'nin bu kadar güçlü versiyonları ile bir karşı örnek bulmak mümkün olacaktır.

— Gil Kalai

Sanırım

ne olduğuna dikkat etmek istiyorsun : SETH'de değişkenlerin sayısını gösterir, yukarıda girdi uzunluğunu gösterir. "SAT'ı

değişken örnekleri üzerinde hesaplayabilen" kapılara izin verirseniz ,

değişkeni SAT için derinlik-2

boyutunda bir devre elde etmek önemsizdir :

değişkenlerine olası tüm atamaları üzerinden bir OR alın ve kalan

değişkenlerindeki SAT'ı çözmek için SAT kapılarınızı kullanın . Ama bu muhtemelen aradığınız şey değil .... Öyle mi?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— Ryan Williams

Sayarak hakkında hesaplamak mümkün olmalıdır boyutu böyle devreleri ile işlevlerini ı tahmin ediyorum bu yüzden tüm fonksiyonları hesaplamak için yeterli olmalı. $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Boaz Barak
kaynak

Merhaba, @ Boaz Barak. İki hesabınızı bu sitede birleştirip birleştirmemizin bir sakıncası var mı?

— Lev Reyzin

Teşekkürler Boaz. Sanırım sorunun ruhu şudur: Eğer tüm fonksiyonları hesaplamak için gerekli olanın çok altına inerseniz, bir NP tam fonksiyonunu hesaplayabilirsiniz.

— Gil Kalai