Köşegenlerin sonsuz grafiğinde sonsuz bir bileşen var mı?

Biz parçalarını birleştirmek varsayalım yönsüz kenarlarının seti kullanılarak D gibi, ya bu ( i , j ) bağlı olan ( I + 1 , j + 1 ) , ya da ( i + 1 , j ) bağlanır ( i , j + 1 ) , tüm i , j için bağımsız ve eşit olarak rastgele .$V = \mathbb{Z}^2$$E$$(i, j)$$(i + 1, j + 1)$$(i + 1, j)$$(i, j + 1)$$i, j$

( Bu kitabın başlığı ve kapağından esinlenilmiştir .)

Bu grafiğin sonsuz derecede büyük bir bağlı bileşene sahip olma olasılığı nedir? Benzer şekilde, dikkate , grafiğin gömme düzlemsel tamamlayıcı. Tamamlayıcının sonsuz bir bağlı bileşene sahip olma olasılığı nedir?$\mathbb{R}^2 \setminus G$

Açıkçası, eğer tüm köşegenler aynı yolu gösteriyorsa, hem grafiğin hem de tamamlayıcısının sonsuz bir bileşeni vardır. Yukarıdaki türden tek tip rastgele bir grafiğe ne dersiniz?

Olasılık 0'dır.

Bu aşağıdaki teoremden kaynaklanmaktadır (Grimmett'in Grafikler Olasılığı, Teorem 5.33'e bakınız, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

Teoremi ile bağ sızma göz önünde örgü nokta arasındaki her bir kenar olasılıkla açıktır, $\mathbb Z^2$ . Kökeni sonsuz bağlı bir bileşende olma olasılığı 0'dır.$\frac12$

Biz bu soruna bizim problemden azaltabilir: temelde, sadece 2 ayrık (ama bağımlı) üzerinde bağ süzülme kopyadır . Konfigürasyonu göz önünde D 1 kenarları orijini ihtiva eden elmas sonsuz kafes oluştururlar. Tüm kenarları çevirirsek, D 2 elmaslarından başka bir sonsuz kafes elde ederiz . Gerçek konfigürasyonun D 1 ve D 2 ile kesişimini düşünün . Bunların her biri tam olarak ilgili bir bağ sızma modelidir Z 2 , sadece döndürülmüş, 45 ∘ . Sonsuz kümede herhangi bir noktanın olması olasılığı 0'dır ( D 1'de kenar yok)$\mathbb Z^2$$D_1$$D_2$$D_1$$D_2$$\mathbb Z^2$$45^{\circ}$$D_1$ bir kenara bağlanabilir .).$D_2$

Sonuç olarak, 0 olasılığı olan sayılabilir olayların toplamının 0 olasılığı olduğuna dikkat edin; herhangi bir kafes noktasının sonsuz bir kümede olma olasılığı üzerine toplam.

(İsteğe bağlı olarak büyük bileşenlerin varlığı kırmızı bir ringa balığıdır. Bir nokta düzeltilmeli ve sınırsız bir bileşende olup olmadığını sormalıdır.)

Hmm, işte ilk deneme. İki önemli şeyi gözlemleyelim:

1. Bu grafik sonsuz büyüklükte bağlı bir bileşene sahipse, König'in sonsuz lemmasıyla sonsuz basit bir yola sahiptir.
2. Grafiğin sonsuz basit bir yola sahip olması olayı, her bir ayrı kenar yönlendirme seçiminden (ve böylece her sonlu kenar seçeneği kümesinden) bağımsızdır. Bu nedenle, bu bir kuyruk olayıdır ve Kolmogorov'un sıfır-bir yasası ile olasılık sıfır veya birdir.

Yani, sıfır veya bir mi? Hemen tahmin edemeyiz, ancak tahmin edebiliyoruz, çünkü "daktilolu sonsuz maymunlar" teoremiyle, bu grafik olasılıkla büyük olasılıkla keyfi büyük uzunluktaki yollar içeriyor. Tabii ki, aslında olasılıkla sonsuz bir yola sahip olduğunu titizlikle kanıtlamak için daha fazlasına ihtiyaç vardır .

$G_n$$2n+1 \times 2n+1$$n$

$[0,1]^2$

$n = 800$

Buradan kodlayın: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

Güncelleme: Yorumlarda belirtildiği gibi, lemma sonuçta sonsuz yollar ima etmez, bu nedenle bu cevap genel olarak yanlıştır. Başka bir olasılıkla kullanılıp kullanılamayacağından emin değilim.

Cevap evet: sonsuz bir yol var. Gerçekten de, bu tür her grafik için sonsuz bir yol vardır ; olasılık gerekli değildir.

$G$$n \times n$$n \ge 2$

$G$

Lemma doğruysa, sonsuz versiyon Joe tarafından belirtildiği gibi König'den gelir. ( Güncelleme: Yanlış, yorumlara bakın)