Kaynaklar ve lavabolar açısından minimum eşdeğer digraf

Kaynaklar ve lavabolar ile bir DAG (yönlendirilmiş asiklik grafik) . Kaynaklar ve lavabolar olan minimum D sayıda kenar içeren bir DAG bulun : $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Tüm çiftler için bir yol yoktur için içinde bir yol yoktur, ancak ve ancak için olarak . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Bunun bir uygulaması, bir DAG tarafından ayarlanmış bir aileyi temsil etmektir. Böyle bir gösterim için her kaynak evrendeki bir değişkendir ve her bir lavabo set ailesinde bir settir ve u elementi sadece ve sadece u temsil eden tepe noktasından temsil eden tepe noktasına giden bir yol varsa S setindedir. S. ayarlayın.

Bu problem iyi biliniyor mu? Bu problem için bir polinom algoritması var mı?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
kaynak

Çözümün orijinal grafiğin bir alt grafiği olması gerektiğini düşünüyorum, değil mi? Evetse, bu sorunun Yönlendirilmiş Steiner Ağacının zor olduğunu gösteren standart azaltma yoluyla Set Cover'ı yakaladığını düşünüyorum: Her öğe için bir tepe noktası, her set için bir tepe noktası ve S kümesi varsa yönlendirilmiş bir kenar (S, u) oluşturun u öğesini içerir. Ardından, ayarlanan tüm köşe noktalarına yeni bir tepe noktası ve kenarlar ekleyin. Bu yeni tepe noktasından tüm lavabolara (eleman köşeleri) bir yol vardır. Hepsini korumak için, tüm elemanları kapsayan minimum ayarlanmış köşe sayısını seçmeliyiz.

— Michael Lampis

Hayır, genel olarak bunun orijinal grafiğin bir alt grafiği olmaması gerektiğini söyleyebilirim. Kaynaklar öğelerdir ve yalnızca bazı kümeler bu öğeyi içeriyorsa öğeye ihtiyacınız vardır. Lavabolar kümedir ve temsil etmeniz gereken kümeleri silemezsiniz, böylece tüm düğümlerin lavabo veya kaynak olduğu naif grafikten başlanırsa, yapabileceğiniz tek şey köşe eklemek ve kenarları taşımak / silmek içindir.

— Martin Vatshelle

Sorun henüz iyi tanımlanmış değil. tepe setindeki kısıtlamalar nelerdir ? Eğer set köşe gerektirir Do tepe seti aynıdır ? Kaynakları ve havuzlarını kaynaklarından ve lavabo aynıdır ? Orada bir fonksiyonu olduğunu haiz bir tepeyi haritalama bir tepe için ve koşul bir yol var ki aslında için içinde bir yol var IFF için içinde

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$ ? Her biri biraz farklı bir soruna yol açabilir. Açıklığa kavuşturmak için soruyu düzenlensin mi?

— DW

Soruyu açıklığa kavuşturdum, aslında kaynakların ve lavaboların aynı olduğunu kastediyorum. Bence haritalama tamamen birbirine yakındır, iki düğümü aynı düğüme eşlemenin tek yolu, aynı kaynak kümesinden ulaşılabilir olmaları, yani aynı kümeyi temsil etmeleridir. İki kaynağın aynı düğüme eşlenebilmesinin tek yolu, tam olarak aynı lavabolara ulaşmalarıdır. Bu yüzden D'nin basit bir ön işleminden sonra problemlerin eşdeğer olacağını düşünüyorum.

— Martin Vatshelle

Dag D aslında problemle alakasız, değil mi? Giriş olarak S ve T arasında iki taraflı bir grafik de alabilirsiniz.

— Emil Jeřábek

sadece kaynaklar ve lavabolar içerdiğini varsayalım , çünkü girdi bu tür bir girdiye kolayca eşdeğer hale getirilebilir. $D$

Daha sonra, not, herhangi bir çözelti içinde için , her köşe altında yatan yönsüz grafiğinde biclique için tekabül arasında (bütün kaynakları arasında biclique bu erişim içinde ve ulaşılabilir bütün lavabolar içinde ). $D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

Ben, bu varsayım optimal biclique 1 karşılık gelir ve kaplama: optimaldir, o zaman 1 olduğu bir köşe-kesim içerir . Daha sonra, herhangi bir asgari tepe kesilmiş kaplama optimal biclique için tekabül . Bununla birlikte, BİSİKLET KAPAĞI (diğer adıyla BİPARTİT BOYUTU) NP-tamamlanmış olduğundan, benim tahminim başarısız olmadıkça, probleminizin bir polinom-zaman algoritması kabul etmesi olası değildir. $D'$ $G$ $D'$ $G$

Benim varsayımım olsa bile, teknik olarak bu argümanın probleminizin NP sertliğini kanıtlamadığını unutmayın, çünkü azaltma bir Karp değil, Cook aşınmasıdır.

— igel
kaynak