NP vs ko-NP ve ikinci dereceden mantık

NP = ko-NP ve polinom in bir 3-CNF örneği için tatmin edilemezlik kanıtının uzunluğunu sınırladığını varsayın . Öyleyse uzunluğunda için herhangi bir tatminsizlik kanıtının ne tür bir sonuç alabileceği konusunda herhangi bir sonuç var mı? Genel olarak, böyle bir kanıtın örneğin, sonsuz yapılar üzerinde ikinci dereceden mantığın tüm gücünü kullanması gerekir (bir formülün tatmin edilemez olduğunu kanıtlama önerisinin sonlu yapılar ancak buna ulaşmak için ispatta ara adımlar sonsuz yapılar üzerinde muhakeme gerektirebilir).$p(x)$$x$≤ p ( x ) $x$$\leq p(x)$

İkinci dereceden mantık için etkili, eksiksiz ve sağlam bir çıkarım sistemi olmadığından NP ko- kanıtlamak için böyle bir sonuç kullanılabilir mi?$\neq$

En uygun pps (pps = önermeye dayanıklı sistem) varsa , en uygun pps, başka herhangi bir kanıt sistemini p-simüle edebilen bir pps'dir), daha sonra en uygun önermeli kanıt sisteminin sağlamlığını belirten öneri aksiyomlarıyla güçlendirilmiş pps EF (Genişletilmiş Frege) güçlendirilir. optimal olacaktır. Daha genel olarak EF + pps P'nin sağlamlığı, herhangi bir P için P'yi simüle edebilir. Bu nedenle EF, mantığı veya altta yatan pps yapısını değiştirmenize gerek olmayan bir tür genelliğe sahiptir, ancak herhangi birine ulaşmak için sadece teklif aksiyomları ekleyin keyfi güçlü pps.

Özellikle, bir süper pps (tüm totolojiler için polinom boyutu kanıtı olan bir pps) varsa, o pps'nin EF + Sağlığı bir süper pps olacaktır. Not bu , bir süper pps varlığına eşdeğerdir.$NP = coNP$

Bir pps P'nin sağlamlığı, , P için φ için bir kanıt ise , φ ' nin doğru olduğunu belirten bir (dizi) öneri formülüdür .$\pi$$\varphi$$\varphi$

Yaz mevsiminde, önermeli mantığın dışına çıkmaya gerek yoktur.

ps: Tüm pps'nin tanım gereği etkili olduğunu, bir pps'in polinom zaman doğrulayıcısına sahip olduğunu ve bu nedenle teoremlerinin hesaplanabilir olduğunu unutmayın. , öneri formülleri için bir süper pps olduğu anlamına gelir . Burada önerme yapmak önemlidir. Daha güçlü mantıklar için böyle bir şey olmadığını biliyoruz, ancak bunların yokluğunun N P ve c o N P üzerinde herhangi bir etkisi yok gibi görünüyor .$NP=coNP$$NP$$coNP$