Grafiklerin spektral bölümlenmesi için kredi verilecek makaleler

Eğer bir yönsüz bir d -Ücretli grafiği ve S cardinality köşe bir alt kümesidir ≤ | V | / 2 , çağrı kenar genişleme bölgesinin S miktarı$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

Burada bir uç kenarlarına sayısıdır A ve bir bitiş noktası B . Sonra Kenar Genişleme sorun kümesi bulmaktır S ile | S | ≤ | V | / 2 , ϕ ( S ) değerini en aza indirir . Set ( G ) işlevini en uygun kümenin genişlemesini çağırın .$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

Spektral Bölümleme Algoritma Kenar Genişleme sorun için bir özvektör bularak çalışan ikinci büyük özdeğerinin A , komşuluk matrisinde G , ve daha sonra tüm `` eşik setleri 'dikkate S formunun { v : X ( v ) ≤ t } her eşik üzerinde t . Λ 2 ' nin matris 1'in ikinci en büyük öz değeri olmasına izin verirsek$x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, sonra Spektral Bölümleme Algoritmasının analizi, algoritmanın bulduğuen iyiSSPeşik değerinin yeterli olduğunu gösterir.$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

Cheeger'in Eşitsizliği'nden sonra gelenler

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

ve

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

Böyle bir iddiada bulunan ilk makale nedir? Fikirler için hangi ödevler verilecek? İşte elimde ne var:

• N. Alon ve VD Milman. isoperimetric grafikler için eşitsizlikler ve superconcentrators, Kombinatoryal Teorisi, Seri B, 1985, 38 Journal of (1): 73-88 $\lambda_1$

  "Basit" Cheeger eşitsizliği ruhu ile sonuç alın , ancak kenar genişletme yerine tepe genişlemesi için. Kenar genişlemesi ile özdeğerler arasındaki ilişkinin, Cheeger’de Cheeger’de incelenen bir sorunun ayrık versiyonu olduğunu kabul edin. $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J. Cheeger. Laplacian'ın en küçük özdeğerleri için bir alt sınır. Analizde Sorunlar, 1970.

• N. Alon. Özdeğerler ve genişleticiler. Combinatorica. 6 (2): 83-96, 1986'da açıklanmaktadır.

  Zor Cheeger eşitsizliği ruhunda bir sonuç olduğunu kanıtlıyor ancak kenar genişletme yerine tepe genişletme için. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A. Sinclair, M. Jerrum. Yaklaşık sayma, homojen üretim ve Markov zincirlerinin hızla karışması. Bilgi ve Hesaplama 82: 93-133, 1989 (Konferans sürümü 1987)

  Cheeger eşitsizliklerini yukarıda belirtildiği gibi kanıtlayın. (Makaleleri, düzenli grafiklerde _gef genişlemesine eşit olan tersine çevrilebilir Markov zincirlerinin _ iletkenliği_ 'dir.) Alon ve Milman ve Alon'ın çalışmalarını teknikler için ödüllendiriyorlar. Ayrıca düzenli grafiklerde karıştırma süresi ve kenar genişletme arasındaki ilgili bir sınır için Aldous'a kredi verirler.

• Mihail. Markov zincirlerinin iletkenliği ve yakınsamaları - genleştiricilerin bir birleşimsel işlemi. FOCS 1989, sayfa 526-531

  Makalenin ana noktası, tekniklerinin zaman tersinir olmayan Markov zincirleri için geçerli olmasına rağmen, düzenli yönlendirilmemiş grafiklere uygulandığında önceki çalışmalara göre avantajı vardır: eğer bir spektral bölüm algoritmasını keyfi bir şekilde çalıştırırsa gösterir vektör, biri hala eşitsizliği elde ediyor buradaλ′vektörün Rayleigh bölümüdür. Alon, Milman, Sinclair ve Jerrum'un argümanları gerçek bir özvektör gerektiriyor. Bu, yaklaşık özvektör kullanan hızlı spektral bölümlendirme algoritmaları ile ilgilidir. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

Yukarıdaki sonuçların algoritmik önemi ne zaman, grafik bölümleme algoritmaları olarak ilk ne zaman tanınır? Yukarıdaki yazıların böyle bir tartışması yoktur.

$\lambda_2$$\lambda_2$

İlginç bir şekilde, Fiedler'in makalesinin sonunda, Anderson ve Morley'in 1971'de Laplacian'ın Özdeğerleri başlıklı bağımsız bir teknik raporunu gösteren ve görünüşe göre benzer fikirleri olan bir açıklama vardı. Bununla birlikte, aynı başlıkta Anderson ve Morley'nin makalesi yalnızca 1985'te Doğrusal ve Çok Sıralı Cebir'de göründü.

Bu dönemi hatırladığım bazı ek referanslar:

1) Diaconis ve Stroock, Markov zincirlerinin özdeğerleri için geometrik sınırlar, Uygulamalı Olasılık Annals, 1991; ancak 1990'da bazen ellerimi bir baskı üzerine aldığımı hatırlıyorum.

2) Dodziuk, Fark denklemleri, izoperimetrik eşitsizlik ve belirli rastgele yürüyüşlerin geçici olması, Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 1984.

Ayrıca, o sırada Sinclair ve Jerrum'a önemli bir "algoritmik yoldaş" kağıdının

3) Dyer Frieze Kannan, Dışbükey Cisimlerin Hacimine Yaklaşmak İçin Rastgele Bir Polinom Zaman Algoritması, STOC 89. Tabii ki, buradaki sonuçlar SJ'nin üstünde yapıldı.