İki politopun denkliğinin kontrol edilmesi

14

değişkenlerinin bir vektörünü ve belirtilen bir dizi doğrusal kısıtlamayı düşünün . $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

Ayrıca, iki politop düşünün

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

burada ve 'ler afin eşlemelerdir. Yani, bunlar . (Biz unutmayınız ve onlar politop ait "afin eşleştirmeleri" oldukları için polytopes olan .) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

Soru, ve set olarak eşit olup olmadığına nasıl karar verilir? Karmaşıklık nedir? $P_1$ $P_2$

Sorunun motivasyonu sensör ağlarından kaynaklanıyor, ancak hoş (muhtemelen temel?) Bir geometri problemi gibi görünüyor. Bunu muhtemelen ve tüm köşelerini numaralandırarak çözebiliriz , ancak daha iyi bir yaklaşım var mı? $P_1$ $P_2$

— Maomao
kaynak

2

İki politopun eşdeğer olması ne demek? Üç yorum hemen aklıma geliyor: setler halinde eşit, yakın eşdeğeri ve kombinatoryal eşdeğeri. Mevcut iki cevap farklı yorumlar varsaymaktadır.

— Tsuyoshi Ito

Yani set olarak eşittir.

— maomao

Lütfen bu açıklamayı eklemek için soruyu düzenleyin. Sadece yorumlarda bırakmayın. Sorular müstakil olmalıdır: insanlar ne sorduğunuzu anlamak için yorumları okumak zorunda kalmamalıdır. Teşekkür ederim.

— DW

12

Aşağıdaki yaklaşımı daha iyi ele alıp almayacağınızı kesin olarak söyleyemem, ancak karmaşıklık-teorik açıdan daha verimli bir çözüm var. Fikir, rasyonların birinci dereceden teorisinde toplama ve düzen ile sorunuzu yeniden ifade etmektir. Sen buna sahip dahildir ancak ve ancak $P_1$ $P_2$ geçerlidir. Bu derived denklik için açık nasılveaynı şekilde. Şimdisabit bir nicelik-katlama öneki ve sonuç olarak Karar verilebilen bir, polinom zamanlı hiyerarşinin ikinci seviyesi (Sontag, 1985

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ ). Ben aynı zamanda bir eşleştirme, iki Politopunun arasındaki dahil olduğu bir yere okuma hatırlıyorum bağlı düşük değerler kanıtlamak mümkün olduğunu oldukça eminim

-Zor.

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Eğer pratikte bu tür sorunları çözmek için aracı desteği arıyorsanız, gibi modern SMT çözen z3 tam bu teoriyi desteklemektedir.

— Christoph Haase
kaynak

5

$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— Denis Pankratov
kaynak

2

Bu argümanın işe yaradığını sanmıyorum - alıntılanan teorem tarafından verilen simpleks boyutunu görmezden geliyor. (x girdinin bir parçasıdır, bu nedenle herhangi bir azaltmanın polinom olarak sınırlandırıldığından emin olması gerekir)

— Colin McQuillan

İyi bir nokta! Görünüşe göre iddiam hala devam etmeli, ancak alıntı yaptığım makaledeki kanıtın içine girmeliyiz. Bir grafikle başlayarak, iki grafiğin izomorfik olması ve sadece karşılık gelen politopların izomorfik olması durumunda bir politop oluştururlar. Politoplarının çok sayıda köşe noktası vardır ve tepe açıklamaları polinom zamanında hesaplanabilir. Bu nedenle, (A, b), köşe sayısı olan boyutta bir simpleks ve f, tepe açıklamasından elde edilebilen politopu veren afin projeksiyon olarak alabiliriz.

— Denis Pankratov