Ölen varsayımların ölümleri

Bir zamanlar pek çok kişi tarafından güvenilir görülebilen algoritmalar ve karmaşıklık hakkında varsayımlar arıyorum, ancak daha sonra karşı kanıtlar monte edildikleri için ya onaylanmadı ya da en azından reddedildi. İşte iki örnek:

1. Rastgele kehanet hipotezi: hemen hemen tüm göreceli dünyalar için geçerli olan karmaşıklık sınıfları arasındaki ilişkiler, ilişkisiz hale getirilmiş durumda da. Bu, sonucu ile çözüldü $IP=PSPACE$ve $IP^X\neq PSPACE^X$ hemen hemen tüm rastgele oracles için geçerli olduğunu göstererek $X$, bkz . Rastgele Oracle Hipotezi Yanlış .

2. Sınırlı hata rastgeleliği, polinom zamanının gücünü (yani, $P\neq BPP$ ) uygun şekilde uzatır . Bunun bir süre olduğuna inanılıyordu, ancak daha sonra, karmaşık derandomizasyon sonuçları ve bunların devre karmaşıklığına olan bağlantıları nedeniyle, zıt varsayım ( $P=BPP$ ) (hala açık olmasına rağmen) yaygınlaştı.

Zaman testinde başarısız olan bazı diğer varsayımlar hangileridir?

N P ≠ c o N $\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$ . Bu ikisinin eşit olduğu önce, genel olarak farklı olduklarına inanıldığını, (yani genel belirsizlik ve gelen genel ilke) inancına benzer şekilde farklı olduklarına inanıldığını düşünüyorum. nondeterminizm farklıdır "; bunun en azından logaritmik olan uzay karmaşıklığı sınırları altında yanlış olduğu ortaya çıktı).$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

Öncesinde , hatta mümkün düşünüldü içerdiği değildi : in Fortnow-Sipser 1988 onlar durum bu conjectured ve verdi doğru olduğu göreli bir kehanet.C o N P I $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

Sabit genişlikte dallanma programları saymak için polinom uzunluğundan daha fazlasını gerektirir : 1981'deki Furst-Saxe-Sipser ve Ajtai, AC ⁰ devrelerinin sayılamadığını gösterdikten sonra , doğal bir sonraki adım, polinomun sabit genişlikte dallanma programlarının ortaya çıkması için doğal bir adım olarak göründü. uzunluk sayılmazdı, ki buna büyük ölçüde tutması düşünüldü. 1986 yılında David Barrington onlar sadece onlar sayabilir gösterdi ama onlar NC eşdeğerdir ¹ .

-conjecture: herhangi bir belirleyici bir algoritma o gerektirir süresi.3 S U M Ω ( n 2$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

Bu 2014'te, zaman [1] ' de çalışan deterministik bir algoritma veren Allan Grønlund ve Seth Pettie tarafından kanıtlandı .$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1] Üçlü, Dejenere ve Aşk Üçgenleri. Allan Grønlund ve Seth Pettie. Bilgisayar Biliminin Temelleri (FOCS) 2014, s. 621-630. arXiv: 1404.0799 [cs.DS]

Hilbert'in onuncu probleminin Davis, Matiyasevich, Putnam ve Robinson tarafından çözümü, özyinelemeli sayılabilir kümelerin tam olarak Diophantine kümeleri olduğunu gösteriyor.

(Burada bir yeniden ediyorum blog yazısı , Gez Yorum önerilen olarak, önce birkaç yıl dışında,.)

Gönderen Georg Kreisel 's inceleme üstel diophant denklemleri için karar problemi Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Ann tarafından. Matematik (2), 74 (3) , (1961), 425-436. MR0133227 (24 # A3061) .

Bu makale, özyinelemeli olarak her yeniden numaralandırılabilir (yeniden) kümenin, üstelik olarak varoluşsal olarak tanımlanabileceğini tespit eder. […] Bu sonuçlar yüzeysel olarak Hilbert'in onuncu problemiyle (sıradan, yani üstel olmayan) Diophantine denklemleriyle ilgilidir. Yazarların sonuçlarının kanıtı, çok şık olsa da, sayılar teorisinde ve yeniden kümeler teorisinde uygun olmayan gerçekleri kullanmaz ve bu nedenle mevcut sonucun Hilbert'in onuncu sorunu ile yakından bağlantılı olmaması muhtemeldir. Ayrıca, tüm (sıradan) Diophantine problemlerinin, sabit dereceli sabit sayıda değişkene eşit olarak indirgenebilir olması tamamen olası değildir; bu, eğer tüm setler Diophantine ise böyle olacaktır.

Tabii ki, onuncu problemle ilgili en sevdiğim alıntı, Martin Davis'in Önsözünden Yuri Matiyaseviç'in Hilbert'in onuncu problemine .

1960'larda Hilbert'in Onuncu Sorunu hakkında sık sık ders verdim. O zaman çözülemezliğin, Julia Robinson tarafından formüle edilmiş bir koşulu yerine getiren tek bir Diophantine denkleminin varlığından geleceği bilinmektedir. Bununla birlikte, böyle bir denklem üretmek olağanüstü zor görünüyordu ve gerçekten de geçerli olan fikir, birinin mevcut olamayacağıydı. Derslerimde, böyle bir denklemin varlığının bir kanıtı ya da etkisizliğini izleyen önemli sonuçları vurgulayacağım. Kaçınılmaz olarak, soru döneminde, sorunların nasıl sonuçlanacağına dair kendi fikrimi sormam istendi ve cevabımı hazırladım: “Julia Robinson'un hipotezinin doğru olduğunu ve zekice bir genç Rus tarafından kanıtlanacağını düşünüyorum.”

Hilbert'in programı ve resmi teorilerin karar verilebilirlik konusunda onun "varsayım". 1920'lerin başında formüle edildi ve 1920'lerde ve 1930'larda başka yerlerde ve Gottingen Üniversitesi'ndeki ortakları tarafından takip edildi.

“Matematiğin uygun bir şekilde ispat teorisi diyebileceği bu yeni matematiğin temelleri ile - her matematiksel ifadeyi somut olarak sergilenebilir ve titizlikle türetilebilir bir formüle dönüştürerek ve bu şekilde transfer ederek matematikteki temel soruları bir kez ve herkes için elden çıkarmaya inanıyorum. saf matematik alanı içine bütün soru kompleksi. "

Hilbert'in önerilerinin Godel'in eksiklik teoremine “çabucak çarptığını” (çok hızlı bir şekilde [1931]) bildiği çok iyi bilinmektedir .

Hilbert'in programına ve daha sonraki gelişmelere güzel bir genel bakış için bakınız: Richard Zach; Hilbert'in Programı o zaman ve şimdi; Bilim Felsefesi El Kitabı. Cilt 5: Mantık Felsefesi; 2006

Ayrıca bkz. Andrés Caicedo'in hikayenin bir başka yönü için cevabı : Hilbert'in sadece 1970'de çözdüğü onuncu sorunu.

Madhu Sudan bir konferansta orada var olduğu bir inanç vardır iddia * , öyle ki ile, yarı kesin programlama, Håstad'ın üç bit PCP teoreminin ispatı öncesi.PCP 1 , s [ günlük n , 3 ] ⊆ $s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

Nitekim SDP 'i göstererek, bu PCP’lerin karmaşıklığına sıkı bir şekilde bağlı kalıyor.$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(* Madhu'nun bu dersini "Rudich / Wigderson tarafından düzenlenen Hesaplamalı Karmaşıklık Teorisi" bölümünde yayınladım.)

varsayımlar, biçimselden gayrı resmi bir yelpazeye yayılmaktadır. Örneğin, Hilberts matematiğin karar verilebilirliği hakkındaki ünlü varsayımı birkaç soruna resmileştirildi, örneğin Hilberts 10. problem, fakat aynı zamanda tüm alanı kapsayan daha görkemli bir gayrı resmi varsayımdı. önerilen bir araştırma programı olarak da görülebilir.

Böyle bir “ölü varsayımların ölümünü bulmanın” kolay bir tarifi, “meta-” ifadesi ”[x] varsayımının yaşamımda kanıtlanabileceğini düşünmek olacaktır. matematik literatürü, ispatın zorluğu ve erişilebilirliği ile ilgili beklentilere tamamen karşı çıkma anlamında "yanlış" olduğu ortaya konan açıklamalar / beklentilerle doludur. Klasik olanı, ~ 1ject yüzyılı aşkın süredir açık olan Riemann varsayımıdır. aynı modeli karmaşıklık teorisine uygulamak kolay değildir çünkü karmaşıklık teorisi çok daha genç bir bilimsel alandır. Ancak, anahtar bir örnek var.

P-NP probleminin ilk keşfi (şu anda 4½ yıl boyunca açık), orijinal araştırmacıların sorunun ne kadar zor veya kesilmiş olacağını hayal edemedikleri ve hayal edemedikleri bir tür masumiyete sahipti. Bunu daha spesifik hale getirmek için, 1980'lerin başında icat edilen devre karmaşıklığı alanını düşünün, örneğin Sipser. Bu, P'ye NP'ye saldırmak için kısmen monte edilmiş Hilberts gibi bir araştırma programıydı. Tarihsel sonuçlardan bazıları, bu özet / girişte Arvind tarafından özetlenmiştir . Hesaplamalı Karmaşıklık Sütunu, BEATCS 106 :

1980'lerde Boolean devre karmaşıklığı düşük sınırları için altın bir dönemdi. Büyük atılımlar vardı. Örneğin, Razborov'un Clique fonksiyonunu hesaplayan monoton Boolean devreleri için üstel alt sınır ve Razborov-Smolensky superpolynomial büyüklüğü alt sınırlar sabit derinlik devreleri için primer _p için MOD kapılı. Bu sonuçlar araştırmacıları büyük alt sınır soruları ve karmaşıklık sınıfı ayrımlarında ilerleme konusunda iyimser hale getirdi. Ancak, son yirmi yılda, bu iyimserlik yavaş yavaş umutsuzluğa dönüştü. Üstel zamanda hesaplanabilir bir fonksiyon için MOD ₆ kapılı sabit derinlikli devreler için süperpolinom alt sınırlarının nasıl kanıtlanacağını hala bilmiyoruz .

Bu alanda umutları azaltan iki kilit bildiri vardı. Razborov, Clique işleviyle ilgili harika sonuçlar elde etti, ancak daha sonra iki karşılıklı makale yazdı. Bir bildiri, bir P-zaman problemi olan Matching'in üssel monoton devreler gerektirdiğini ve bu nedenle bir anlamda daha düşük sınırlara monoton devre yaklaşımının, monoton olmayan ("tam") devreler ile karmaşıklık içinde yazışma eksikliği nedeniyle engellendiğini göstermiştir. anladım).

Bu ünlü kağıt üzerinde genişletilmiş Doğal Proofs önceki tüm devre alt sınır deliller sert rastgele sayı üreteçleri ile conjectured alt sınır ile çakışan anlamında kanıtlanabilir zayıf olan bir belirli bir desene tabi o gösterildiği, Rudich ortak yazılmıştır kriptografi.

yani, bir dereceye kadar devreler "zarafetten düştü". Hala muazzam bir araştırma alanıdır, ancak teknik sonuçlarla desteklenen geleneksel bilgelik, eğer mümkünse, bölgede güçlü sonuçlar elde etmek için henüz bilinmeyen bir tür özel kanıt kalıbı / yapısının gerekli olacağı yönündedir. Aslında, benzer şekilde, bir bütün olarak “karmaşıklık teorisinde güçlü alt sınırlar” bile olsa, artık son derece zor görünmektedir ve bunun alanın daha genç günlerinde yaygın olarak beklendiği / tahmin edilmediği söylenebilir. ama diğer yandan bu, onları matematiğin büyük (açık) problemleriyle birlikte zorluk / önem / öneme sokar.