Minimum otomata olarak yönlendirilmiş çoklu grafikler

Düzenli bir dil verildi $L$ alfabede $A$, minimal deterministik otomatı sabit dış derece ile yönlendirilmiş bağlı bir çoklu grafik olarak görülebilir $|A|$ve belirgin bir başlangıç ​​durumu (geçiş etiketlerini, nihai durumları unutarak). İlk durumu koruyoruz, çünkü her tepe noktasına ondan erişilebilir olmalıdır.

Sohbet doğru mu? Yani yönlendirilmiş bağlı ufak matbaa verilen Çıkış derecesi, her tepe bunun erişilebilir olduğu şekilde ilk durumu, bir dil her zaman vardır sabiti öyle ki minimal otomatın yatan grafiğidir ?$G$$L$$G$$L$

Örneğin, doğruysa, çünkü grafik, boyutu öneki ve boyutu döngüsüne sahip bir "kement" olmalıdır ve minimum otomasyonuna karşılık gelir. .$|A|=1$$i$$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

Motivasyon, çözümün daha kolay olduğu, kararsızlık azalmasında karşılaşılan ilgili bir sorundan geliyor: yönlendirilmemiş basit bir grafikten başlayarak ve lavabo eklemek gibi daha fazla işlemle. Ama birisinin bu daha doğal soruya daha önce bakıp bakmadığını merak ediyordum?

Uzaktan ben literatürde bulabildiğim bağlı tek şey gibi evrakları burada Prescribed Sıfırlama Kelimeler ile Yol Boyamaların Karmaşıklık hedefi çıkan otomat bir senkronizasyon sözcüğü vardır ki, böyle bir ufak matbaa renk katmaktır. Ancak minimalite göz önünde bulundurulmuyor.

Güncelleme : Klaus Draeger'in cevabından sonraki takip sorusu: Bir grafiğin bu şekle sahip olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı nedir? Etiketlemeyi tahmin edebilir ve otomasyonun küçüklüğünü polinom olarak doğrulayabiliriz, bu yüzden NP'de, ancak daha fazlasını söyleyebilir miyiz?

Herhangi bir emici düğüm $n$ ya kabul etmek ya da etmemek zorunda kalacak (böylece her şey ya da hiçbir şey bir kez kabul edilmeyecek) $n$girilir). Grafikte ikiden fazla emici düğüm varsa, bunların bazıları herhangi bir etiketleme ve kabul seti için eşdeğer olur.

Daha genel olarak, güçlü bir şekilde bağlanmış herhangi bir grafik için $H$ sadece sonlu bir sayı var $n(H)$farklı olası etiketler ve kabul alt kümeleri; grafiğinizde birden fazla varsa$n(H)$ terminaline güçlü şekilde bağlanmış bileşenler $H$ (örneğin, bir ağacın yapraklarına tutturulmuş), herhangi bir minimal otomasyona karşılık gelemez.

Takip sorusu ile ilgili EDIT: Bu kulağa zor geliyor. Argümanım tarafından önerilen bir yaklaşım şöyle görünebilir:

• bölme $G$SCC'lere. Bu ucuz;$O(|V|+|E|)$ Tarjan'ın algoritmasını kullanarak.
• SCC'leri izomorfizm sınıflarına ayırın. Ne yazık ki grafik izomorfizminin içinde olduğu bilinmemektedir.$P$.
• Her terminal izomorfizm sınıfı için, izin verilen karşılık gelen alt otomatların sayısını belirleyin ve eğer yeterli değilse, başarısız olun. Her alt küme ve kenar etiketlemesini kabul etmenin her kombinasyonuna izin verilmediğini unutmayın: örneğin, alfabemizin$\{a,b\}$ve bir bileşenin, her biri bir öz döngüye ve diğer düğüme kenara sahip iki düğümü vardır. Her iki düğümü de kabul etmek ve her iki döngüyü etiketlemek$a$ (ve diğer kenarları $b$), tek bir emici duruma benzeyen ve minimumluğu ihlal eden bir otomat verir.
• DAG'da kalan SCC'lere, daha düşük olanları dikkate alarak benzer şekilde davranın; Bu bölümün detayları üzerinde biraz bulanıkım.

Bu karmaşıklığı ünlü olan bir adımdır ve buna benzeyen başka bir adım üstel zaman gerektirebilir (çünkü izin verilen otomata belirlenirken iki taraflılık sınıflarına katlanacak birçok bölüm olabilir). Daha iyisini yapabilir miyiz?