Basit bir yönlendirilmemiş grafikte rastgele yürüyüş ve ortalama vuruş süresi

Let üzerinde basit bir yönsüz çizge köşe ve kenarları.n $G=(V,E)$$n$$m$

rastgele yayılan ağaç oluşturmak için Wilson algoritmasının beklenen çalışma süresini belirlemeye çalışıyorum . Orada gösterildiği burada, olan ortalama vuruş süresi : ki burada:O ( τ ) $G$$O(\tau)$$\tau$

• $\pi$ olan sabit dağılımı ,$\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
• $u$ keyfi bir tepe noktasıdır ve
• $H(u,v)$ olduğu vurma zamanı (AKA erişim süresi ), yani tepe önce adımlardan beklenen sayı tepe başlayarak ziyaret edilmektedir .$v$$u$

Ortalama vuruş süresi için genel üst sınır nedir? Ortalama vuruş süresini en üst düzeye çıkaran en kötü grafiği nedir?$G$

Sorumu açıklığa kavuşturmak için, hesaplamalara veya ayrıntılı bir kanıta ihtiyacım yok (gelecekte bu soruyla karşılaşan diğer insanlar için yararlı olsa da). Şahsen benim için bir alıntı yeterli olacaktır.

Makale, Broder tarafından beklenen kapsama süresi içinde (tüm köşeleri ilk kez ziyaret edildiğinde) çalışan başka bir algoritmadan bahsediliyor . Sonra söylenir ki, bu ortalama vuruş süresi her zaman örtme süresinden daha azdır. Bununla birlikte, sadece bir bağlanmış bir asimptotik verir için en grafikler (yani, genişletme grafikleri ile kontrast) (bir miktar daha kapsamlı tanımı ile en grafikler için Broder tarafından en ).$\Theta(n)$$\Theta(n \log n)$

Ortalama isabet süresinin ve kapak süresinin olduğu bir grafik örneği verir . Bu durumun ikincisi için en kötü durum olduğu bilinmesine rağmen, özellikle ilkinin en kötü durumu hakkında hiçbir şey söylemiyor. Bu, Wilson algoritması için en kötü durumun ve arasında herhangi bir yere düşebileceği anlamına gelir .$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$$O(n^2)$$O(n^3)$

Wilson algoritmasının farkında olduğum herkese açık iki uygulaması var. Biri Boost Grafik Kütüphanesi , ikincisi ise grafik aracında . Birincinin belgeleri çalışma süresinden bahsetmezken, ikincisinin durumu:

Rasgele grafikler için tipik çalışma süresi .$O(n \log n)$

Bu soruya cevap vermez ve aslında Wilson'ın makalesiyle tutarsız görünüyor. Ancak bunu, aynı uygulama belgelerine başvurma fikri olan herkesin zamandan kazanmak için rapor ediyorum.

Başlangıçta, en kötü durumun , vurma süresinin kadar yüksek olabileceği Lovász nedeniyle bir klikoya yol ekleyerek oluşturulan bir grafikle elde edilebileceğini ummuştum . Ancak bu olayın olasılığı, sabit dağıtımdan köşe seçerken yaklaşık . Sonuç olarak , bu grafikteki ortalama vuruş süresine bağlı bir elde edilir .$\Omega(n^3)$$\frac{1}{n}$$O(n^2)$

Brightwell ve Winkler'ın bir makalesi , bir lolipop grafik alt kümesinin beklenen vurma süresini maksimuma çıkardığını ve ulaştığını göstermektedir . Lovász'ın grafiği de bir lolipop grafiğidir, ancak bu durumda, kırpma boyutu yarı değil . Ancak, beklenen vuruş zamanını ortalama vuruş zamanıyla karıştırmamaya dikkat edilmelidir. Bu sonuç, bir öncekinde olduğu gibi, önceden seçilen iki belirli köşe için beklenen vuruş süresine işaret eder.$4n^3/27$$\frac{2}{3} n$

David Wilson'a sormaya karar verdim, yakında bir cevap aldım:

köşesinde yönlendirilmemiş grafikler için , en kötü durum ortalama vuruş süresi Θ ( n 3 ) 'tür . Örnek halter grafik , iki boyutta klikleri oluşur, n / 3 uzunlukta bir yol ile bağlanmış N / 3 . En kötü sabitin ne olduğunu bilmiyorum. (Beklenen) isabet kere bulunur [BRIGHTWELL-Winkler] kağıt bakır H ( x , y ) başlayan x ve bitiş y . Ortalama vuruş süresi H ( x , y ) ortalamasıdır.$n$$\Theta(n^3)$$n/3$$n/3$$H(x,y)$$x$$y$$H(x,y)$rastgele bir yürüyüşün durağan dağılımından sabit ve rastgele y seçimleri için. Bunun x'e bağlı olmaması hoş bir gerçek . Tamamlanmayan ama web üzerinde Aldous-Fill kitabından vurma zamanlarını öğrendim .$x$$y$$x$

Yukarıda adı geçen kitapta bu gerçeğin bir kanıtı bile var:

Üzerinde bir grafik oluşturmak için köşeler, iki tam grafik ile başlar , n 1 köşe. Bir grafikte ("sol zil") v l ≠ v L köşelerini ve diğer grafikte ("sağ zil") v R ≠ v r köşelerini ayırt edin . Ardından grafikleri v L - w 1 - ⋯ w n 2 - v R yoluyla bağlayın .$n=2n_1+n_2$$n_1$$v_l \neq v_L$$v_R \neq v_r$$v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

Sonra gayri resmi olarak v L vurmak için hakkında ortalama zaman alır ve oradan şans var tartışılmaktadır $n_1$$v_L$ vurmakw1yaklaşık ortalama zaman alır böylece,n 2 1 vurmakw1. Gönderenw1hakkında şans var$\frac{1}{n_1}$$w_1$$n_1^2$$w_1$$w_1$ sol zile dönmeden önce sağ zili vurmak için, bu yüzdensağ zile girmekortalama 2 nn 1 n2sürer.$\frac{1}{n_2}$$n_1^2 n_2$

ayarı bize ortalama zaman O ( n 3 ) verir .$n_1 = n_2 = n/3$$O(n^3)$

Kuşkusuz, belirttikleri noktada kayboldum:

Gönderen hakkında şans var $w_1$ sol zile dönmeden önce sağ zili vurmak için.$\frac{1}{n_2}$

Ama zihnimi kolaylaştırmak için, bu şekilde inşa edilmiş halter grafiklerinde, durağan dağılımdan seçilen köşeler arasında rastgele yürüyüşlerin simülasyonunu çalıştırdım. Gerçekten de, ortalama vuruş süresi bir eğriye çok iyi uyuyordu .$\frac{(n+1)^3}{54}$

Bununla birlikte, gayri resmi kanıt hakkındaki yorumlar hala kabul edilmektedir.

Yakın tarihli bir makalede , Wilson algoritması tarafından beklenen "döngü sayısı" üzerinde bir mn üst sınırı (büyük O yok) bulduk ve sabitlere sıkı sıkıya bağlı. Ortaya çıkan döngülerin ortalama boyutu belli olmadığı için Wilson algoritmalarının çalışma süresi sorusuna doğrudan cevap vermez. Öte yandan, bir yorum bırakmak için yeterli "itibar" yok ...