Hangi grafik parametreleri rastgele grafiklere konsantre DEĞİLDİR?

En önemli grafik parametrelerinin en azından bazı olasılık olasılıklarında rastgele grafikler üzerinde (güçlü) konsantrasyon gösterdiği iyi bilinmektedir. Bazı tipik örnekler; kromatik sayı, maksimum klik, maksimum bağımsız küme, maksimum eşleştirme, egemenlik numarası, sabit bir altyazının kopya sayısı, çap, maksimum derece, seçim numarası (liste renk numarası), Lovasz , ağaç genişliğidir. , vb.$\theta$

Soru: istisnalar vardır, vardır anlamlı grafik parametreleri değil rastgele grafikler üzerinde yoğunlaştı?

Düzenle. Konsantrasyonun olası bir tanımı şöyledir:

Let bir grafiktir parametre olarak -vertex rastgele grafiğin. Biz çağrı konsantre her için ise, , tuttuğu Olasılık üssel olarak 1'e yaklaşırsa, konsantrasyon güçlüdür . Fakat bazen güçlü olan, yakınsaklığın küçülme aralığındaki gerçek kaldığı ve muhtemelen çok dar bir aralık veren gerçek anlamda kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin, eğer X_n minimum derece ise, o zaman, bir p kenar kenarı olasılığı aralığı için , kanıtlanabilir $X_n$$n$$\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ mümkün olan en kısa aralık (derece olarak tamsayıdır, ancak beklenen değer olmayabilir).

Not: Konsantrasyon kuralından yapay istisnalar yapılabilir . Örneğin , eğer grafik tek bir kenar sayısına sahipse $X_n=n$ , aksi takdirde 0 olsun. Bu açıkça konsantre değil, ancak bunun anlamlı bir parametre olduğunu düşünmüyorum .

En büyük bağlı bileşenin birçok parametresi, ise ve daha genel olarak kritik penceredeyse konsantre değildir . Örnekler, en büyük bileşenin çapı ve büyüklüğü, en büyük ikinci bileşenin büyüklüğü, bileşenin sahip olduğu yaprak sayısı, vb.$G(n,p)$$p=1/n$$p$

Bakınız örneğin

Aldous, David. "Brownian gezileri, kritik rasgele grafikler ve çarpımsal birleştirici." Olasılığın Annals (1997): 812-854.

Nachmias, Asaf ve Yuval Peres. "Kritik rasgele grafikler: çap ve karıştırma süresi." Olasılığın Annals 36, no. 4 (2008): 1267-1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin ve Christina Goldschmidt. "Kritik rastgele grafiklerin devamlılık sınırı." Olasılık Teorisi ve İlgili Alanlar 152, no. 3-4 (2012): 367-406.

Konsantrasyon başarısızlığı bazı sayma ( ) özellikleri ve belki de çoğu için olabilir.$\#\mathsf{P}$

Basit bir örnek, yayılan alt yazıların sayısıdır ( ). Rastgele bir grafiğin kenarlarının sayısı tarafından dalgalanır; bu nedenle yayılan alt sayfaların sayısı, faktöründen, size faktöründen çok uzaktır. Konsantrasyon tanımında kullanıyorsun.$2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

Bunun izole edilmiş bir örnek olmadığını göstermek için, burada yoğunlaşmama nedeninin Hamilton dönemlerinin sayısı için de doğru olması gerektiğine dair (tamamen titiz değil, ancak titizlikle yapılabilir) bir argüman bulunmaktadır. Bu sayının beklenen değeri açıkça : döngüsel tepe dizilerinin her birinin gerçekte olma ihtimali vardır. Hamilton dönemi. Benzer bir argümanla, bu sayının yeni bir sınır getirmesinin neden olduğu beklenen değişim miktarı , doğrusal bir faktör tarafından daha küçük olacaktır. Hamilton çevrimlerinin sayısı kuvvetli bir şekilde konsantre olsaydı, çoğu kenar klipsi bu sayıda beklenen değere yakın bir miktar değişime neden olur. Ama sonra$(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$ kenar sayısındaki dalgalanma, kuvvetli konsantrasyon varsayımına aykırı olan, Hamiltonian döngü sayısında beklenen değere orantılı bir dalgalanmaya neden olacaktır.

Konsantrasyonun başarısız olması için diğer olası adaylar arasında renklendirme sayısı (köşelerin bağımsız kümelere ayrılması), eşleşme veya mükemmel eşleşme veya yayılan ağaçların sayısı sayılabilir.