2-k-Klique devlet karmaşıklığı?

Basit bir şekilde:

İki yönlü sonlu bir otomat , o ( v 3 ) durumları olan bir üçgen içeren $v$ -vertex grafiklerini tanıyabilir mi?$o(v^3)$

ayrıntılar

Burada ilgi çekici olan, -vertex grafikleri bir kenar dizisi kullanılarak kodlanmış olup, her kenar den bir çift farklı köşe noktasıdır .{ 0 , 1 , … , v - 1 $v$$\{0,1,\dots,v-1\}$

Diyelim ki iki yönlü sonlu otomata (deterministik veya belirsiz olmayan) bir , öyle ki -vertex giriş grafiklerinde Clique'i tanır ve durumlarına sahiptir. O halde sorunun genel bir şekli şudur: ?M v k v s ( v ) s ( v ) = Ω ( v k$(M_v)$$M_v$$k$$v$$s(v)$$s(v) = \Omega(v^k)$

Eğer ve sonsuz sayıda için , o zaman NL ≠ NP. Daha az hırslı bir şekilde, sabit olduğunu ve vakasının önemsiz ilk durum olduğunu şart koşuyorum.s ( v ) ≥ v k ( v ) v k k = $k = k(v) = \omega(1)$$s(v) \ge v^{k(v)}$$v$$k$$k=3$

Arka fon

İki yönlü sonlu otomat (2FA), çalışma alanı olmayan, yalnızca sabit sayıda dahili durumu olan ancak salt okunur giriş kafasını ileri ve geri hareket ettirebilen bir Turing makinesidir. Buna karşılık, olağan tür sonlu otomat (1FA) salt okunur giriş kafasını sadece bir yönde hareket ettirir. Sonlu otomata, girdilerine tek yönlü veya iki yönlü erişime sahip olmanın yanı sıra deterministik (DFA) veya belirsiz olmayan (NFA) olabilir.

Bir grafik özelliği , grafiklerin bir alt kümesidir. Let ifade özelliği ile -vertex grafikler . Her grafik özelliği , dili , mümkün olan her grafik için bir durum kullanarak ve bunları göre etiketleyerek ve aralarındaki geçişler kullanılarak en fazla durumlu bir 1DFA tarafından tanınabilir. kenarlarla etiketlenmiş durumlar. Bu nedenle , herhangi bir özelliği için normal bir dildir . Myhill-Nerode teoremi ile tanıdığı isomorphism için eşsiz bir yukarı en küçük 1DFA sonra orada . BununQ, V v Q Q Q, V 2 h ( h - 1 ) / 2 Q Q v Q Q v 2 s ( v ) S v s ( v ) Ω ( 1 $Q$$Q_v$$v$$Q$$Q$$Q_v$$2^{v(v-1)/2}$$Q$$Q_v$$Q$$Q_v$$2^{s(v)}$sonra standart sınırları, tanıyan bir en az durumuna sahip olmasını sağlar. Standart infilak sınırları ile bu yaklaşım sadece en fazla verir Bu nedenle bir ikinci dereceden v herhangi bir 2FA devletler sayısına bağlı düşük Q v (hatta S , sert veya undecidable).$Q_v$$s(v)^{\Omega(1)}$$v$$Q_v$$Q$

-Clique, tam bir k -vertex altgrafıiçeren grafik özelliğidir. Tanıma k -Clique v ilk nondeterministically biri seçtiği bir 1NFA yapılabilirfarklı potansiyel-cliques aramaya ve ardından onaylamak için gerekli kenarlarının her arayan, bir kez girdi tararfarklı potansiyel kliklerin her biri içindurumukullanarak bu kenarların izini tutmak. Böyle bir 1NFAdurumuna sahiptir, burada. Ne zamansabittir, bu$k$$k$$k$$_v$ k2k(k-1)/$\binom{v}{k}$$k$$2^{k(k-1)/2}$1≤cv≤ekΘ(vk$\binom{v}{k}2^{k(k-1)/2} = (c_v 2^{(k-1)/2}/k)^k.v^k$$1 \le c_v \le e$$k$$\Theta(v^k)$devletler. Girdiye iki yönlü erişime izin verilmesi, bu tek yönlü sınır üzerinde bir iyileştirmeye olanak tanır. Daha sonra soru, bir 2FA'nın bu 1FA üst sınırından daha iyisini yapıp yapamayacağını soruyor.$k=3$

Zeyilname (2017/04/16): Ayrıca bakınız deterministik süre ilgili soru ve güzel en iyi bilinen algoritmalar kapsayan cevap . Benim sorum, üniform olmayan belirsiz olmayan alana odaklanıyor. Bu bağlamda, zaman açısından verimli algoritmalar tarafından kullanılan matris çarpımının azaltılması, kaba kuvvet yaklaşımından daha kötüdür.

Bana öyle geliyor ki üçgenler durumuyla (n köşe sayısıdır 2FA ile yapılabilir .O ( n 2$A$$O(n^2)$

İçin Fikir aşağıdaki gibidir:$k=3$

1. Aşama 1'de, bazı kenar seçer ve depolar kendi halinde( i , j ) ( p h a s e 1 , i , j $A$$(i,j)$$(phase 1,i,j)$
2. Faz 2'de formun bir kenarına veya hareket eder ve formun bir durumunu varsayar.( m , i ) ( p h a s e 2 , j , m $(i,m)$$(m,i)$$(phase 2,j,m)$
3. 3. aşamada, kenar veya olup olmadığını kontrol eder ve eğer bulursa kabul etme durumuna geçer.( m , j $(j,m)$$(m,j)$

Bu aslında neredeyse soldan sağa bir şekilde yapılabilir (o zaman , faz 2'de veya için kararsızca ilk önce karar vermeye karar verebilir ). Bununla birlikte, 2. kenar biçiminde gelirse , önce ve sonra okuması gerekir , yani burada tek bir sol adım gereklidir.( j , m ) ( m , j ) ( m , i ) A i $A$$(j,m)$$(m,j)$$(m,i)$$A$$i$$m$

Bu sahip otomata sonuçlanmalıdır için durumları için -Clique ilk olarak bir dizi tahmin ederek boyutu o düğümlerinden olduğu ve test, ikili kenarları ile bağlanır ve , i her biri için, j, yukarıda m, bunlar tüm düğümler kenarlara sahip olup olmadığını kontrol .k k > 3 S k - 3 S $O(n^{k-1})$$k$$k>3$$S$$k-3$$S$$S$