Karger algoritması kullanılmadan bir grafiğin mincut sayısı

Karger'in mincut algoritmasının, bir grafiğin sahip olabileceği maksimum olası mincut sayısının select 2 olduğunu kanıtlamak için (yapıcı olmayan bir şekilde) kullanılabileceğini biliyoruz $n \choose 2$.

Başka bir kardinalite kümesine n \ select 2'ye iki yönlü (oldukça tarafsız) bir kanıt vererek bu kimliği bir şekilde kanıtlayıp kanıtlayamayacağımızı merak ediyordum $n \choose 2$. Belirli bir nedeni yok, sadece bir merak. Kendi başıma yapmayı denedim ama şimdiye kadar hiçbir başarı elde etmedim. Kimsenin bu konuda zaman kaybetmesini istemem ve bu yüzden soru anlamsız görünüyorsa moderatörler buna göre harekete geçmelerini rica ediyorum.

En İyi -Akash

$\binom{n}{2}$ Başlangıçta "bir grafik her az kesim sistemi için bir yapı" 1976 yılında Dinitz, Karzanov ve Lomonosov'un kanıtlanmıştır düşünmek bağlandı. Aradığınızı belki de bu makalede bulabilirsiniz, ancak çevrimiçi olup olmadığından emin değilim.

Gayri resmi olarak, maksimum min-cut sayısına sahip olmak için bir grafikteki tüm düğümlerin aynı dereceye sahip olması gerektiği iddia edilebilir.

Bir kesim bölmek bir grafik olsun iki düğüm grubu içine ve öyle ki . Bir grafikteki min-cut sayısının olarak gösterilmesine izin verin .C ˉ C C ∩ ˉ C = ∅ m c ( G $G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

Her tepe noktasının ikinci derece olduğu köşeli bağlı bir grafik düşünün . Bu döngü grafiği olmalı ve minimum kesim iki kenar olmalıdır. Herhangi bir iki kenarın kesilmesinin bir kesime neden olacağı ve böyle bir kesimin minimum kesim olduğu açıktır. Olduğu için kenarlarının farklı çiftleri vardır en az keser.n ( n - 1 ) / 2 n ( n - 1 ) /$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

Döngü grafiğinden bir kenar kaldırarak yeni bir grafik yapın. Yeni grafiğin minimum kesimi bir kenardır ve herhangi bir kenarın kesilmesi yeterli olacaktır: yapılabilecek gibi kesikler vardır.$n-1$

Döngü grafiğine kenar ekleyerek yeni bir grafik yapın. Şimdi iki düğüm üçüncü dereceye ve düğüm iki dereceye sahiptir. Üçüncü derece düğümlerin her ikisi de veya her ikisi de ait olmalıdır . Döngü grafiği söz konusu olduğunda, veya hiçbir düğümün birlikte görünmesi kısıtlanmamıştır . Bunun anlamı, kenar eklemenin, minimum kesme sayısını azaltan bir sınırlama getirmesidir.C ˉ C C ˉ $n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

Üçüncü derece için daha fazla düğümün yükseltilmesi, ikinci derece yalnızca bir minimum kesimin olduğu noktaya kadar ek kısıtlamalar ekler.

Yukarıdakiler, döngü grafiğinin (en azından) yerel maksimum .$mc$

Her düğümün üçüncü derece olduğu grafik kümesini düşünün. Bir kenarın çıkarılması, iki küçük kesikli bir grafik verir. Yukarıdaki gibi bir kenar eklemek, kesimin aynı tarafında en çok görünen iki düğüm üretir.

Bu, her bir düğüm derecesi olan grafikler ortaya koymaktadır lokal maksimumları . Tüm grafiğin boyutunda kesimine sahip olduğunu belirtmek, bunun azalan bir işlev olduğunu düşündürmektedir.m c m c = n n - $k$$mc$$mc=n$$n-1$

Yukarıdakileri resmileştirmenin mümkün olup olmadığı hakkında çok fazla düşünmedim, ancak olası bir yaklaşımı temsil ediyor.

Ayrıca, Bixby kağıt düşünüyorum Jelani Nelson için yorumda bahseder onun cevabı ( "Bir Grafik With Kenar Bağlantı n Ve M n-tahvil Asgari Kenarların Sayısı Ve Vertices" hakkına sahiptir bağlantı )