Gödel'in İkinci Eksiklik Teoremi ile Church-Rosser'in CIC mülkiyeti arasındaki çelişki?

Bir yandan, Gödel'in İkinci Eksiklik Teoremi, herhangi bir temel aritmetik ifadeyi ifade edecek kadar güçlü olan herhangi bir tutarlı resmi teorinin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını ifade eder. Öte yandan, Church-Rosser'in resmi (yeniden yazma) sisteminin mülkiyeti, tüm denklemlerin türetilemez olması bakımından tutarlı olduğunu söyler, örneğin K $\neq$ Ben , aynı normal forma sahip olmadıkları için.

Daha sonra Endüktif İnşaatlar Hesabı (CIC) her iki koşulu da açıkça ifade eder. Aritmetik önermeleri temsil edecek kadar güçlüdür (gerçekten, $\lambda\beta\eta$ - tek başına matematik, Kilise rakamlarını zaten kodlayabilir ve tüm ilkel özyinelemeli işlevleri temsil edebilir). Dahası, CIC aynı zamanda birleşme veya Church-Rosser mülküne sahiptir. Fakat:

CIC, İkinci Eksiklik teoremiyle kendi tutarlılığını kanıtlayamamalı mı?

Ya da sadece CIC'nin sistem içindeki kendi tutarlılığını kanıtlayamadığını ve bir şekilde confluence özelliğinin bir meta-teorem olduğunu söyler mi? Ya da belki CIC izdiham özelliği onun tutarlılığını garanti etmez?

Birisi bu konulara ışık tutabilirse çok sevinirim!

Teşekkürler!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
kaynak

CR hangi anlamda tutarlılık anlamına gelir? İlişkiyi düşünün

x \to y

$x \rightarrow y$ her ne zaman

x, y \in X

$x, y \in X$ .

— Martin Berger

@MartinBerger Yani CR'nin CIC'de tutarlılık anlamına gelmediğini mi söylüyorsunuz? Çünkü

λ

$\lambda$ hesabı, örneğin K

\neq

$\neq$ Ben . Ve üzgünüm, yukarıdaki ilişkiyi düşündüğünüzü anlamıyorum.

— 15:27

CIC hakkında hiçbir şey bilmiyorum, ancak bariz olasılık kendi Church-Rosser mülkünü kanıtlamaması olabilir.

— Emil Jeřábek

Güçlü bir normalleşme, bir tür teorisi için tutarlılığa daha yakın olabilir mi? CR eşit olmayan terimler olduğunu ima eder, ancak bu bir boşluk sakinini dışlamaz. Güçlü normalizasyon dahili olarak cic için kanıtlanamaz, bu yüzden Godels teoremi hala geçerli

— Daniel Gratzer

Sezgi, tipik olarak, sistemin içinde kötü bir normal nesne olmadığını göstermenin kolay olmasıdır. Şimdi tüm terimlerin normal bir şekle sahip olduğunu kanıtlayabilirsek, bitti. Normalleştirme algoritmasının biçimlendirilmesi kolaydır. Zor kısmı sona erdiğini göstermektir. Sistemin içinde yeterince hızlı büyüyen işlevlerimiz varsa, bunları normalleştirme algoritmasının sonlandırılmasında bir üst sınır kanıtlamak için kullanabiliriz. Bence Girard'ın eski kitabı bunlara sahip olmalı. İspatlar ve Çeşitleri de olabilir. (Bir teorinin olası toplam fonksiyonlarını tartışan herhangi bir iyi kanıt teorisi kitabı buna sahip olmalıdır.)

— Kaveh

İlk olarak, denklem teorisi olarak CIC tutarlılığını mantıksal teori olarak CIC tutarlılığı ile karıştırıyorsunuz . Birincisi, aynı türden tüm CIC terimlerinin $\beta\eta$ -eşdeğer. İkincisi, türün $\bot$ iskan değil. CR, ikinciyi değil, ilk tür tutarlılığı ifade eder. Bu, yorumlarda belirtildiği gibi, bunun yerine (zayıf) normalizasyon ile ima edilir. Bu durumun prototip örneği saf $\lambda$ -calculus: eşit olarak tutarlıdır (CR tutar), ancak mantıklı bir sistem olarak düşünürseniz (Alonzo Kilisesi orjinal olarak tasarlandığı gibi) tutarsızdır (aslında normalleşmez).

İkincisi, Emil'in belirttiği gibi, CIC belirli bir özelliğe (CR veya normalizasyon) sahip olsa bile, CIC'nin bu özelliği kanıtlayamaması mükemmel bir şekilde mümkündür. Bu durumda, CIC'nin kendi CR özelliğini kanıtlayabildiği gerçeğinde herhangi bir tutarsızlık görmüyorum ve bunun gerçekten böyle olduğunu düşünüyorum (temel kombinasyonel argümanlar genellikle CR için yeterlidir ve bu argümanlar kesinlikle büyük CIC'nin mantıksal gücü). Bununla birlikte, CIC kesinlikle tam olarak ikinci eksiklik teoremi nedeniyle kendi normalleştirme özelliğini kanıtlamaz.

— Damiano Mazza
kaynak

+1 Teşekkürler! Biraz ayrıntı verebilir misiniz (zayıf) normalleştirme özelliği (mantıksal bir teorinin) tutarlılığı ifade eder? yani, her terimin normal bir şekle sahip olması,

⊥

$\bot$ yerleşim yeri var mı?

— StudentType

Elbette! Kesinlikle eliminasyonun tutarlılığı ima ettiği gerçektir. Daha ayrıntılı olarak: normalizasyon türleri koruduğundan, zayıf normalizasyon,

⊥

$\bot$ iskan edilirse, normal bir terimle ikamet eder. Ancak (genellikle) mantıksal sistem tanımının (CIC veya herhangi bir hesabının hesabı gibi) önemsiz bir sonucudur.

λ

$\lambda$ -cube) normal sakinleri

⊥

$\bot$ .

— Damiano Mazza

@StudentType: Boş bağlamda normal formdaki endüktif tipte bir terimin argümanlara uygulanan bir kurucu olması nispeten basit bir lemmadır (türevler üzerinden indüksiyon yoluyla) .

⊥

$\bot$ hiçbir yapıcı içermeyen endüktif bir tiptir. Benzer kanıtlar,

⊥

$\bot$ .

— cody

Evet haklısın @cody! Şunu söylemeliydim ki (geleneksel sistemlerde) kapalı normal bir sakin

⊥

$\bot$ (çok sayıda normal sakin var

⊥

$\bot$ kapalı değil!).

— Damiano Mazza