NP-tamamlama problemlerinde faz geçişi ne kadar yaygındır?

Birçok NP-tam probleminin faz geçişi sergilediği iyi bilinmektedir . Burada, bir algoritmaya göre girdinin sertliğinden ziyade, dilde tutulma açısından faz geçişiyle ilgileniyorum.

Kavramı kesinleştirmek için, resmi olarak şu şekilde tanımlayalım. dili , eğer faz (geçişle ilgili olarak) faz geçişi gösterirse,$L$

1. Örneğin bir polinom zaman hesaplamalı, gerçek değerli fonksiyonu olan bir sipariş parametresi vardır.$r(x)$

2. T eşiği vardır . Ya gerçek bir sabittir, ya da muhtemelen n = | x | , yani, t = t ( n ) .$t$$n=|x|$$t=t(n)$

3. R ( x ) < t olan hemen hemen her için x ∈ L var . ( Hemen hemen her burada araçlar: tüm ama yok denecek kadar birçok olduğunu, oran olarak, 1 yaklaşır n → ∞ ).$x$$r(x)<t$$x\in L$$n\rightarrow\infty$

4. R ( x ) > t olan hemen hemen her için x ∉ L var .$x$$r(x)>t$$x\notin L$

5. Hemen hemen her için r ( x ) ≠ t değerini tutar . (Yani geçiş bölgesi "dar" dır.)$x$$r(x)\neq t$

Pek çok doğal NP-tam problemi bu anlamda faz geçişi gösterir. Örnekler çok sayıda SAT varyantı, tüm monoton grafik özellikleri, çeşitli kısıtlama memnuniyeti problemleri ve muhtemelen diğerleri.

Soru: Hangisi "hoş" istisnalar? Yukarıdaki anlamda bir faz geçişi olmayan (muhtemelen) doğal bir NP-tam problemi var mı?

Bu alandaki uzman araştırmacılar temel olarak faz geçişlerinin NP tam sorunlarının evrensel bir özelliği olduğunu iddia etseler de, bu henüz titizlikle formüle edilmesine / kanıtlanmasına ve daha geniş alanda henüz yaygın olarak kabul edilmemesine / yayılmamasına rağmen (daha ampirik odaklı olmaktan kaynaklanmaktadır) çalışma dalı). neredeyse açık bir varsayım. güçlü kanıtlar var. faz geçişi olmayan NP tam problemleri için hiçbir makul aday yoktur. İşte bu pov destekleyen iki referans:

• NP-tam problemlerinde faz geçişleri: olasılık, kombinatorik ve bilgisayar bilimi için bir zorluk / Moore

• Faz geçiş davranışı / Walsh (ppt)

burada iddianın gerçeğinin kaba bir taslağı var. NP içinde bulunan P ile ilgilidir. bir NP tam problemi / dili P zamanında çözülebilen örneklere ve P ≠ NP ise üstel (veya en azından süperpolinom-) zamanda çözülebilen örneklere sahip olmalıdır. ancak P örneklerini her zaman "P olmayan" örneklerden "gruplamak" için bir yol olmalıdır. bu nedenle P ve P olmayan örnekler arasında her zaman bir "geçiş kriteri" olmalıdır. Kısacası, belki bu fenomen intraktik olarak P ≠ NP ile birleştirilmiştir!

başka bir kaba argüman: tüm NP tam problemleri indirgeme ile değiştirilebilir. tek bir fazda bir faz geçişi bulunursa, hepsinde bulunmalıdır.

bunun için daha koşullu kanıtlar, daha yakın zamanda (~ 2010), faz geçişinin rastgele grafiklerde klik tespiti için monoton devrelerde daha düşük sınırlar için ortaya çıktığı gösterilmiştir.

• Kliklerin saptanmasının ortalama vaka karmaşıklığı / Rossman

tam açıklama: Moshe Vardi, özellikle SAT'da faz geçişleri üzerinde çalışmış ve bu konuşma / videoda daha kuşkulu bir görüşe sahiptir.

• Faz geçişleri ve hesaplama karmaşıklığı

$G_{n,m}$$n$$m$$\binom{n}{2}$$m$$G_{n,m}$

D normal grafiklerin C renklendirmesi, gerilmediğiniz sürece özellikle aşamalı olmayan bir dizi Ayrık geçişe sahiptir.

İşte SAT17'ye göndereceğim bir boyama sonuçları tablosu. Birkaç örnek haricinde 6 normal grafiğin 3 renklendirmesinin mümkün olmadığını unutmayın. Aynı şekilde onuncu derece grafiklerin 4 renklendirilmesi ... C3D5N180 grafikleri biraz zor. C4D9 Altın Noktası sadece geçici olarak C4D9N180'de; C4D9 grafikleri, karşılaştığım boyuta göre en zor 4cnfs'dir, bu nedenle C4D9 "Sabit Nokta" olarak nitelendirilir. C5D16 Altın noktasının var olduğu varsayılır, ancak 5 renkten 6 renge kadar zor nokta bölgesinde olacaktır.

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

Renklendirici formüller, toplam lgC * N değişkenleri için köşe başına lgC değişkenlerine sahiptir; kenarlarda toplam C * M cümleleri için C renklendirme cümleleri bulunur. Ek renkleri dışlamak için köşe başına birkaç ek cümle vardır. Altın Noktalar en küçük N'dir: N köşeleri olan D derece grafiklerinde C renklenebilirliği neredeyse her zaman tatmin edilebilir, 1'e yakın olasılıkla. Yüksek Olasılık için N rastgele örnek tatmin edilebilirdi. Çok Yüksek için N * N tatmin edilebilirdi. Süper Yüksek için N * N * N rastgele örnekler tatmin edilebilirdi.

Yüksek Olasılık (1 - 1 / N) altın renklendirme noktaları şunlardır:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

Çok Yüksek Olasılık (1 - 1 / (N * N)) altın renklendirme noktaları:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

Süper Yüksek Olasılık (1 - 1 / (N * N * N)) altın renklendirme noktaları:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

Çalışmadaki tüm rastgele örnekler tatmin ediciydi. Doğrusal olasılık noktaları yüzlerce tatmin edilebilir formülü kontrol etti. Karesel olasılık noktaları on binlerce tatmin edilebilir formülü kontrol etti. Kübik olasılık noktaları yüz binlerce tatmin edici formülü kontrol etti. C4D9 ve C5D13 noktaları zordur. C5D16 noktasının var olduğu varsayılır. Beş renklendirilebilir on altıncı derece rasgele örnek, varsayımı kanıtlar.