Açıkça MSO tarafından ifade edilebilen küçük kapalı özellikler

Aşağıda, MSO köşe seti ve kenar seti miktarları olan grafiklerin monadik ikinci derece mantığını belirtir.

Let grafikler küçük kapalı aile olacağız. O Robertson ve Seymour'un grafik minör teorisinden aşağıdaki F sonlu liste ile karakterize edilir , H 1 , H 2 , . . . , H k yasak Küçüklerin. Diğer bir deyişle, her bir grafik için G , o sahip G ait F , ancak ve ancak G hariç tüm grafik H i küçükler olarak.$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

Bu gerçeğin bir sonucu olarak , bir grafik G'de sadece G ∈ F ise doğru olan bir MSO formülü var . Örneğin, düzlemsel grafik grafikler bulunmaması ile karakterize edilen K 3 , 3 ve K 5 minör olarak, ve bu nedenle, açıkça düzlemsel grafik karakterize eden MSO formülünü kolaydır.$\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

Sorun, birçok güzel küçük kapalı grafik özelliği için yasak küçüklerin listesinin bilinmemesidir. Dolayısıyla, grafik ailesinin varlığını karakterize eden bir MSO formülünün olduğunu bilsek de, bu formülün ne olduğunu bilemeyebiliriz.

Öte yandan, grafik küçük teoremi kullanmadan belirli bir özellik için açık bir formül bulabiliriz. Sorum bu olasılıkla ilgili.

Soru 1: Yasak küçükler kümesi bilinmeyecek şekilde küçük bir kapalı grafik ailesi var mı , ancak bu grafik kümesini tanımlayan bazı MSO formülü φ biliniyor mu?$\mathcal{F}$$\varphi$

Soru 2: Bazı açık MSO formülü mı bilinen aşağıdaki özelliklerin bazılarını karakterize etmek?$\varphi$

1. Cins 1 (grafik bir torusa gömülebilir) (aşağıdaki EDIT'e bakın)
2. Bazı sabit için k cinsi (aşağıdaki EDIT'e bakın)$k>1$
3. Bazı sabit k > 1 için k-dış düzlemliliği$k> 1$

Bu konuda herhangi bir referans veya düşünceyi takdir ediyorum. Lütfen diğer küçük kapalı mülkleri düşünmekten çekinmeyin, yukarıda verilen liste sadece açıklayıcıdır.

Obs: Açıkçası ben mutlaka küçük demek istemiyorum. Verilen özelliği karakterize eden formülün nasıl oluşturulacağını gösteren açık bir argüman veya algoritma vermek yeterlidir. Benzer şekilde, bu soru bağlamında, yasaklı bir ailenin bu aileyi inşa eden açık bir algoritma vermişse bilineceğini düşünüyorum.

DÜZENLEME: Adler, Kreutzer, Grohe tarafından, cinsinin grafiklerini karakterize eden formül k-1'e dayanan formül temelinde bir formül oluşturan bir makale buldum . Bu nedenle, bu makale Soru 2'nin ilk iki maddesine cevap vermektedir. Öte yandan, bu Soru 1'e cevap vermemektedir, çünkü aslında k cinsinin grafiklerini karakterize eden yasak küçüklerin ailesi olan her k için bir algoritma vardır (Bkz.Bölüm 4.2). Bu nedenle bu aile soru anlamında "bilinir".$k$

Burada apex grafikleri içeren bir cevabım vardı, ancak bu soruda verilen açık bir tıkanıklık kümesine sahip olmama tanımını başarısızlığa uğradı : tıkanıklığı bulmak için yayınlanmış bir algoritma var, ancak çalıştırmak için çok yavaş olmasına rağmen aslında bilmiyoruz engelin ne olduğu.

İşte bu kusur olmadan başka bir parametrelendirilebilir cevap ailesi (en azından bildiğim kadarıyla). Aile kapalı bir küçük Verilen ve bir tam sayı k ≥ 1 verilen grafiktir yapar G mı bir k -ply kapsayan grafik olarak F ? Bu tür bir soru hakkında çok şey bilinmemektedir: özellikle Negami'nin düzlemsel bir grafiği kapsayan grafikleri karakterize eden varsayımı kanıtlanmamıştır. Ve küçük-kapalıdır, çünkü G'den bir minör yapmak için attığınız adımlar kapakta kopyalanabilir.$F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

Bir varlığı için test bir -ply kapağında G içinde F , MSO içinde 2 , aşağıdaki adımlardan yapın:$k$$G$$F$$_2$

• Kullanım derinlik ilk arama ağacı trick bir (keyfi) yönlendirme almak için .$G$
• Her çift için ile 0 ≤ i , j < k , kenarların bir dizi tercih G , katının giden bir kaplama kenarı sözde olanlar i kat için j .$(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• $G$
• $F$