Digraph homomorfizminin yönlendirilmiş bir döngüye karmaşıklığı

Sabit bir yönlendirilmiş grafik verildi (digraph) $D$, $D$-COLORING karar problemi bir girdi digrafisi olup olmadığını sorar $G$ homomorfizması var $D$. (Bir homomorfizması$G$ için $D$ bir eşleme $f$ nın-nin $V(G)$ için $V(D)$ yayları koruyan, yani $uv$ bir yay $G$, sonra $f(u)f(v)$ bir yay $D$.)

Sınıfı $D$-RENKLEME sorunları, Feder ve Vardi ( vatandaşlardan erişilebilir ) tarafından belirtilen CSP'ler için Dichotomy Conjecture ile güçlü bir şekilde bağlantılıdır .

Gelen bu 2001 kağıdın (yazarın sayfasında ulaşılabilir burada ) Feder bir ikilik teoremini zaman kanıtlıyor$D$(göre yönlendirilmiş bir döngüdür yönlendirilmiş döngüsünde başka bir deyişle, bir isteğe bağlı olarak yönlendirilebilir her kenar tek yay ile değiştirildiği bir yönsüz döngüsü, ortalama), o gösteren bir yönlendirilmiş döngü için$D$, $D$-COLORING ya polinom-zaman çözülebilir ya da NP-tamdır.

Ne yazık ki, Feder'in sınıflandırması son derece önemsizdir ve açık değildir, çünkü birçok vakanın karmaşıklığı, yönlendirmeye bağlı belirli sınırlı SAT varyantlarının karmaşıklığı ile ilgilidir. Makaleye bakarak, sorumun cevabını belirleyemedim:

Soru: Yönlendirilmiş bir döngünün en küçük boyutu nedir$D$ öyle ki $D$-RENKLEME NP-tamamlandı mı?

Cevap literatürde bir yerde ifade edilebilir, ama bulamadım.

Düzenle:Feder'in sınıflandırması hakkında daha fazla bilgi vereyim. Feder, herhangi bir NP-tam yönlendirilmiş döngünün dengelenmesi gerektiğini, yani her iki yönde de aynı sayıda yaya sahip olması gerektiğini gösterir (dolayısıyla düzeni vardır). Ardından, yönlendirmenin neden olduğu "seviyeleri" düşünün (keyfi bir tepe noktasında döngü etrafında dolaşmaya başlayın; bir yay sağa giderse, 1 yükselirsiniz, bir yay sola giderse, 1 azalırsınız). Sonra, en fazla bir "üst-alt koşu" varsa, polinomdur. Bu tür en az 3 "çalışma" varsa ve döngü bir çekirdek ise, NP-tamamlanmış demektir. (András'ın yorumlardaki örneğinde, böyle üç "çalışma" vardır, ancak döngü bir çekirdek değildir.) En zor durumlar iki "üst-alt çalışma" olanlardır. Bazıları zordur, bazıları polinomdur ve Feder onları bir ikilik elde etmek için özel SAT problemleriyle ilişkilendirir.

Ara soru olarak: Üç "üst-alt" koşuya sahip olan ve bir çekirdek olan en küçük odaklı döngü nedir? Böyle bir örnek yukarıdaki tartışma ile NP-tam olacaktır.

Ara soru için (üstte üç altta çalışma olan bir çekirdek), buna ne dersiniz?

Bazı gösterim: Koşularda kelimelerle tarif edeceğim $\{l,r\}^*$, örn. $llrl$ bir alt grafiğe karşılık gelen $\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$. Seviye artıyor$r$ yaylar ve azalır $l$ yaylar ve minimum değerinin $0$. Bazı basit kısıtlamalar şunlardır:

• Sadece aşağıdakilerden oluşan bir koşu olamaz $l$s veya sadece $r$çünkü, aksi takdirde ... 'dan bariz bir homomorfizma vardır. $D$ bu koşula (her düğümü eşleme $D$aynı seviyeye). Bu aynı zamanda maksimum seviyenin en azından$3$.
• Maksimum seviye $3$, daha sonra tüm üst-alt (resp alt-üst) koşuları $llr(lr)^ill$ (Sırasıyla. $rrl(rl)^irr)$; yine bir homomorfizma bulmak çok zor değil$D$ en aza indiren koşuya $i$.

Ancak, maksimum seviye için $4$ bir çözüm var, uzunluk $36$: düşünmek $D$ tarafından verildi $(rrrlrrlllrll)^3$. Bu gerekli üst-alt çalışmalara sahiptir ve bir çekirdektir (aşağıya bakınız). Yukarıdaki kısıtlamalara göre, her çalışma yalnızca tek bir "geri" kenara sahip olduğundan, zorunlu olarak minimumdur.

Kendimizi bunun bir çekirdek olduğuna ikna etmek için, önce köşeleri ($v_1,\ldots,v_{36}$). Alt (yani seviye$0$) köşeler $v_1,v_{13},v_{25}$. Herhangi bir homomorfizma$\varphi$ itibaren $D$ bir alt-çizgiye seviyeleri korumalı ve özellikle $\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$; Modüler bariz otomorfizm$v_i\mapsto v_{i+12}$, davayı düşünmek yeterlidir $\varphi(v_1)=v_1$. Mahallesini düşünün$v_1$ içinde $D$ (seviyelerle açıklamalı):

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

İle başlayan $\varphi(v_1)=v_1$, sahibiz $\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$. Ama eğer$\varphi(v_2)=v_{36}$, sonra $\varphi(v_3)=v_{35}$ve bunun için olası bir değere sahip değiliz. $\varphi(v_4)$. Biz olsun$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$. Sonraki$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$, ama için $\varphi(v_5)=v_3$ aldık $\varphi(v_6)=v_4$, olası değeri olmadan $\varphi(v_7)$. Yani$\varphi$ tüm koşu boyunca kimlik olmalı $v_1\to\ldots\to v_7$ve kalan argümanlar için aynı argümanı tekrarlayarak, tüm $D$. Özellikle,$\varphi$ harita değil $D$ uygun bir altgraf üzerine.