Frege ve Genişletilmiş Frege için Alt Sınırlar

Wikipedia [1], Frege provalarının boyutu için en iyi bilinen alt sınırın kuadratik olduğunu ve Frege provalarının satır sayısı için bilinen bir süper lineer alt sınırın olmadığını belirtir.

Sorular:

1) Genişletilmiş Frege provalarının satır sayısı için en iyi bilinen alt sınır nedir?

2) Genişletilmiş Frege provalarının boyutu için en iyi bilinen alt sınır nedir? Frege'deki gibi hala ikinci dereceden mi?

3) Ağaç benzeri Genişletilmiş Frege, polinom sayıda adımda DAG benzeri Genişletilmiş Frege'yi simüle edebilir. Ağaç benzeri uzatılmış Frege'de boyut / satır sayısı için herhangi bir süper lineer alt sınır var mı?

4) wikipedia'da belirtildiği gibi Frege provalarında çizginin lineer alt sınırına ve boyut için ikinci dereceden alt sınıra götüren totolojiler nelerdir?

Obs: Sabit derinlikli Frege için boyutun daha düşük sınırlarına sahip olduğumuzun farkındayım. $2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$. Ama tam güç Frege ve Genişletilmiş Frege ile gerçekten ilgileniyorum.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

1, 2, 4) Genişletilmiş Frege'de en iyi bilinen alt sınırlar Frege ile aynıdır: doğrusal satır sayısı ve ikinci dereceden boyut. Bu, örneğin totolojiler için geçerlidir$\neg^{2n}\top$(temel olarak, daha kısa bir totolojinin ikame örneği olmayan ve tüm alt formların uzunluklarının toplamı ikinci dereceden olan herhangi bir totoloji). Bu, Krajíček'in Sınırlı aritmetik, önermeli mantık ve Frege sistemleri için karmaşıklık teorisinde kanıtlanmıştır , ancak argüman genişletilmiş Frege sistemleri için de geçerlidir.

3) Ağaç benzeri genişletilmiş Frege'yi tam olarak nasıl tanımladığınızı tam olarak açık değilim (uzatma aksiyomlarının yeniden kullanılmasına izin veren bir mekanizma olması gerekir), ancak treelike Frege'deki satır sayısı üzerindeki herhangi bir süper lineer alt sınırın farkında değilim veya genişletilmiş Frege sistemleri.